Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл производной, можно записать закон «естественного роста» следующим образом:

где k 0 коэффициент пропорциональности. Уравнение (2.100), отличающееся только знаком правой части от уравнения (2.97), описывает многие процессы «размножения».

Решение уравнения (2.100), удовлетворяющее заданному начальному условию t 0, y y0, имеет вид

Формула (2.101) и выражает закон «естественного роста». Согласно этому закону, например, происходит «размножение» нейтронов в ядерных реакциях, размножение бактерий, рост кристаллов и т. п.

Отметим, что при линейной зависимости скорости роста (2.100) от численности популяции в данный момент времени, сама численность популяции испытывает экспоненциальный рост (рис. 8).

Рассматриваемая модель о динамике численности популяции была предложена Мальтусом в широко известной работе “О законе роста народонаселения”. Томас Роберт Мальтус (1766 – 1834 гг., английский экономист и демограф, обратил внимание на то, что численность населения растет в геометрической прогрессии an 1 kan, что в непрерывном представлении соответствует закону (2.100). На основе эмпирических данных того времени Мальтус заметил, что производство продуктов питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии). Он был первым ученым, который на основе моделирования этих процессов предупреждал о возможных негативных последствиях определенных сценариев развития человеческого сообщества.

dy

Рис. 8. Зависимость скорости роста от численности популяции (а) и численности от времени (б)

60

Рассматриваемая модель о динамике численности популяции была предложена Мальтусом в широко известной работе “О законе роста народонаселения”. Томас Роберт Мальтус (1766 – 1834 г., английский экономист и демограф, обратил внимание на то, что численность населения растет в геометрической прогрессии an 1 kan, что в непрерывном представлении соответствует закону (2.100). На основе эмпирических данных того времени Мальтус заметил, что производство продуктов питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии). Он был первым ученым, который на основе моделирования этих процессов предупреждал о возможных негативных последствиях определенных сценариев развития человеческого сообщества.

В 60-х годах ХХ века аналогичную роль сыграли работы представителей Римского клуба – Д. Форрестера (Мировая динамика, 1972 г.), Д. Медоуза (пределы роста, 1972 г., русский перевод 1991 г.), Д. Медоуза с соавторами (За пределами роста, 1992 г., русский перевод, 1994 г.). Дальнейшие исследования показали, что в природе экспоненциальный рост численности популяции встречается крайне редко, из-за ограниченности пищевых ресурсов и других альтернативных факторов. Примером выполнения экспоненциального закона (в ограниченный промежуток времени) может служить размножение видов, переместившихся в места с большими пищевыми ресурсами, где отсутствуют хищники и конкурирующие виды.

З а д а ч а о б о г р а н и ч е н н о м р о с т е п о п у л я ц и й Рассмотрим еще одну классическую модель математической реологии.

Логистическое уравнение было предложено в 1838 г. Ферхюльстом для описания ограниченного роста численности популяции. Оно имеет следующий вид:

предельная величина, называемая емкостью экологической ниши популяции,

такими факторами, как ограниченность пищевых и пространственных ресурсов и многими другими факторами, различными для разных видов. Мы докажем это свойство решения уравнения (2.102) на основе фактически построенного решения.

Разделяя переменные в уравнении, получим:

где выполнено разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрируя дифференциальное уравнение, имеем:

61

частное решение уравнения (2.102), удовлетворяющее начальному условию:

запишем приближенно выражение в правой части (2.104) в виде

Таким образом, при малых kt численность популяции возрастает линейно с ростом времени:

предельному значению, равному P.

Отметим, что если хотя бы один из системных факторов k,P зависит от времени, то уравнение (2.102) не допускает разделение переменных. Однако и в этом случае его решение выражается квадратурами, поскольку оно будет являться уравнением Бернулли.

62

З а д а ч а о п а д е н и и т е л а в г р а в и т а ц и о н н о м п о л е Рассмотрим задачу о вычислении скорости тела массы m, падающего

вертикально вниз с некоторой высоты под действием силы тяжести, если сила вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости.

Обозначим v(t) - скорость тела в момент времени t . Действующие на тело две противоположно направленные силы – сила тяжести FT mg и сила

вязкого трения FTр v, где g 9,81мс2 - ускорение свободного падения,

-динамическая вязкость (пуаз=0,1Па∙с). Значение коэффициента вязкости для

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

Вычисляем интеграл в левой части равенства методом подведения под дифференциал:

Учитывая правую часть предыдущего равенства, получаем:

движение с нулевой начальной скоростью v(0) 0, то C mg и решение примет вид

63

При свободном падении без трения v(t) gt. При наличии вязкого трения скорость, возрастает, стремиться к постоянной величине v mg .

З а д а ч а о б и з м е н е н и и т е м п е р а т у р ы т е л а в с р е д е Тело, имеющее в начальный момент времени температуру T(0) T0,

поместили в среду, температура которой поддерживается неизменной и равной Tc (термостат). Рассмотрим закон изменения температуры тела со временем,

если Tc T0.

Обозначим T(t) температуру тела в момент времени t . И. Ньютон экспериментально установил закон, согласно которому при определенных упрощениях скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды

где 0 - постоянная. Знак минус в правой части уравнения соответствует экспериментальным результатам: если T(t) Tc 0, то температура тела убывает, поэтому скорость ее изменения отрицательна: T(t) Tc 0, то температура тела возрастает, поэтому и dTdt 0. Таким образом, процесс охлаждения (нагревания) тела моделируется приведенным уравнением, которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. (Очевидно, что его можно решить и методом разделения переменных при

Tc const).

Будем отыскивать решение уравнения методом Бернулли: T(t) u v. Подставляя это произведение в уравнение, привлекая условие Бернулли, налагаемое на одну из функций, получаем систему двух дифференциальных уравнений:

Для постоянной температуры внешней среды, имеем: u(t) C T0e t . Таким образом, общее решение дифференциального уравнения,

описывающего изменение температуры тела, имеет вид:

64