Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 96-100

y(4)	z3	d3z	4z2	dz d2z		dz	3
						z	,

		dy3		dy	dy2
						dy

(3.56)

(n) zn 1

d

n 1

z

dz

d

n 2

z

y

z,

, ,

.

n 1

n 2

dy

В результате подстановки выражений (3.55), (3.56) в уравнение (3.52), оно преобразуется к виду

d

n 1

z

dz

d

n 2

z

,

(3.57)

dy

n 1

F

y,z,

, ,

dy

n 2

где

dy

dz

d

n 2

z

1

dz

d

n 2

z

dz

d

n 2

z

F y,z,

, ,

f

y,z,

, ,

z,

, ,

.

n 2

n 1

n 2

dy

z

dy

Полученное

уравнение

(3.57) имеет

порядок,

на

единицу меньший

порядка дифференциального уравнения (3.54). Если, интегрируя уравнение (3.57), удастся найти общее решение

	z (y,C1, ,Cn 1),
то, возвращаясь к исходной функции y , получим уравнение:
	y (y,C1, ,Cn 1).					(3.58)
Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (3.54),
выраженный в квадратурах
	dy			x Cn.		(3.59)
	(y,C , ,C	n 1	)
1					y за
В заключении отметим следующее. Принимая						независимую
переменную в (3.55), мы могли потерять решение вида					y const . Поэтому в
уравнении (3.54) нужно положить y C . В результате получим						f (C,0, ,0) 0.

Если это уравнение имеет корни C(1), ,C(m), то уравнение (3.54) допускает решения вида y C(k) (k 1,2, ,m), которые могут оказаться особыми решениями.

Далее, особые решения уравнения (3.57) могут привести к особым решениям уравнения (3.54) в силу подстановки (3.55). И, наконец, особые решения могут возникать при интегрировании уравнения (3.59).

б)1. Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка, не

содержащие независимое переменное:
y f (y, y ).	(3.60)

____________________________________________________________________

1Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям.

95

Выполним подстановку
		z(y) y (x),			(3.61)
откуда y z	dz	. В результате подстановки уравнение (3.60) примет вид

	dy
		z	dz	f (y,z).	(3.62)

			dy

Решая уравнение (3.62) найдем общее решение z (y,C1), являющееся первым интегралом (3.61).

Используя (3.61), получаем дифференциальное уравнение

dy

(y,C ).

(3.63)

dx

1

Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл уравнения

(3.60)

dy

x C2.

(y,C )

1

Пример. Найти решения уравнения

(1 y2)yy (3y2 1)y 2.

Решение.

Это

дифференциальное

уравнения 2-го порядка, не

содержащее независимой переменной.

Полагая

y z(y),

т.е. принимая y за

независимую переменную, имеем: y

z

dz

. Уравнение принимает вид:

dz

dy

(1 y

2

)yz

(3y

2

1)z

2

.

dy

Отсюда видно,

что

z 0,

т.е.

y 0

и

y C ,

является решением

уравнения. Разыскиваем ненулевые решения уравнения для z;

y(1 y

2

)

dz

(3y

2

1)z.

dy

Разделяя переменные, получим:

dz

3y2 1

dy.

2

z

y(1 y

)

Разложим

подынтегральную

функцию

в

правой

части равенства на

простые дроби:

3y2 1

A(1 y2) y(By D)

A By D

.

y(1 y2)

y 1 y2

Отсюда, приравнивая числители, получим равенство:

A(1 y2) By2 Dy 3y2 1.

96

Полагая y 0, получаем A 1. Приравнивая коэффициенты при y и

y2, получим:
A B 3,		D 0,		B 4.
Итак, разложение имеет вид:
	3y2 1		1	4y
					.
	y(1 y2)
			y	1 y2

Подставив разложение под интеграл, имеем:

2

ln

z

ln

y

2

2ydy

ln

y

2

d(1 y )

,

2

1 y

ln

z

ln

y

2ln(1 y2) ln

C

.

Отсюда получаем:

1

yy

zy

C ,

или

C .

(1 y2)2

1

(1 y2)2

1

Итак, первый интеграл уравнения получен. Интегрируя еще раз, найдем

общий интеграл:

2ydy

1

C1 dx C2 ,

1

C1x C2,

2

(1 y

)

21 y

или

1

1 y2

~

,

~

C1x C2

где

2C2.

Из общего интеграла решение

y C получается,

C1 2C1,

C2

если положить C~1 0. Решение y 0 получается при

~

C2 .

Пример.

Найти решение

задачи

Коши:

4y

y 1,

y(0) 1,

y

(0) 1.

Решение. Это уравнение не содержит х и, следовательно, относится к

типу

(3.54). Делая

замену

y z(y),

y z

dz

и

подставляя в уравнение,

dy

получим

dy

4zdz

,

2z2 2

2C ,

z2

C .

y

1

Подставляя начальные данные y(0) 1

1, найдем

C1 0.

y

(0) z(1)

4

то

z

y . Имеем

Поскольку y (0) 1 0,

dy

4

x C2.

4

,

dx,

y3

y

dx

3

4 y

97

Подставляя x0 0,	y(0) 1, получим	C2		4	, после чего найдем у

			3

y3 1 3 x 4.

4

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Как эта теорема формулируется для уравнения 2-го порядка.

2.

Изложите

метод

решения

дифференциального

уравнения

вида

y(n) f (x). Напишите формулу общего решения уравнения

y

f (x).

Приведите пример.

3.

Изложите

метод

решения

дифференциального

уравнения

вида

y

f (x,y ). Приведите пример.

4.

Изложите

метод

решения

дифференциального

уравнения

вида

y

f (y, y ). Приведите пример.

5. Напишите пример линейного дифференциального уравнения.

Задачи для практических занятий и самостоятельного решения

1.

y x,

y(1) 1,

y (1)

2.

Ответ:

y

x3

3

x

2

.

6

2

3

2.

y

lnx

, y(1) 0,

y (1)

1,

y (1) 2.

Ответ:

y

x2

ln2 x

3

x2

2x

1

.

2

x2

2

3.y x cosx.

4.y 2xln x.

5.xln x y y .

6.xy y .

7.xy (1 2x2)y .

8.xy y ln y .

x

Ответ:	y		x4			sinx C x2											C		2		x C .
Ответ:	y					sinx C x2											C				x C .
	24												1											3
	24
Ответ:	y	x3		lnx				5		x3 C x C													2	.
Ответ:	y			lnx						x3 C x C														.
	3						18										1
	3						18							x
														x	1
															1
Ответ:	y (C x C 2)eC1																	C		2		.
					1		1													2
Ответ:	y C x2 C								2		.
	1								2
Ответ:	y C ex2						C					2	.
	1											2		x
														x		1
																1
Ответ:	y (C x C2)eC1																	C			2		.
					1		1														2

98

9.	2y			y				x2		y(1)					2			2			Ответ:		y			2		x5 2.
				y				x2							2			2
									,					,			.
				x				y						5			2									5
										2							1					(C x C			2	)2
		2yy																				1			2
10.																Ответ: y					1						.
10.					1 (y ) .											Ответ: y					1		4				.
																			C1				4
																								1
		y	2y			3	, y(0) 1,																	1
11.																				Ответ: y						.
11.													y (0) 1.							Ответ: y						.
							2				4												1 x
12.		2yy			y		2		y		4	4,			y(0) 1,
12.		2yy			y				y			4,			y(0) 1,		y (0) 2.

	8	5


Ответ: 15			4
			1
y
y			5
			5

32

y 1 x C2 общий интеграл.

(15x 1)23 4. 5

13.

yy y 2 y2 ln y (считая y 0, y 0).

C

ln2

y C2e2x

2C

2

ex ln y ln2

y или

1

2

Ответ:

C2e2x

C

2

1

y exp

.

ex

2C

2

y y (1 y ).

14.

Ответ: y C2

ln1 exp(x C1)

.

15.

yy y (1 y ).

Ответ:

y

1

(1 C2eC1x).

C1

16.yy 1 y 2. Ответ: y C1ch x C2 .

C1

17. y 3yy ,	y(0) y (0) 1, y (0)	3	.	Ответ:	y	4	.
		2				(x 2)2

4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, механики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.

1. Основные понятия Определение. Уравнение вида

y p(x)y q(x)y f (x),	(4.1)
99

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: