Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 141-145

Fk (x)	L	Yk (x)
1F1
1F1
2F2	L
	L
	L	Y(x)
mFm
mFm	Рис. 12
	Рис. 12

Принцип суперпозиции имеет эмпирическое происхождение. Например, в теории тяготения согласно этому принципу гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. И кроме того, гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности.

Подобное поведение физических систем наблюдается в оптике, радиотехнике, теплотехнике и при изучении колебаний ряда механических систем.

Частным случаем этой теоремы является нижеследующая теорема,

широко используемая в расчетах электрических цепей и в теории колебаний.

Теорема 8.

Если система линейных уравнений

dY

A(x)Y F1(x) iF2(x),

dx

где i- мнимая

единица,

F1(x) colon(u1,..., un ) ,

F2(x) colon(v1,...,vn)

с

действительными функциями aij (x), ui (x), vi (x)

(i, j 1,2,...,n)

имеет решение

Y(x) Y (x) Y (x),

Y (x) colon(y

(1),...,y(n)),

Y (x) colon(y

(1)

,...,y(n)),

то

1

2

1

2

действительная

часть решения

Y1(x)

и

его

мнимая

часть Y2(x)

соответственно являются решениями уравнений

dY1 A(x)Y1 F1(x), dx

dY2 A(x)Y2 F2(x). dx

Доказательство.	По	условию L[Y] F1 iF2, где L	- линейный
оператор (5.24). Докажем,	что	L[Y1] F1, L[Y2] F2 . Действительно, в силу
линейности оператора L, получаем L[Y1 iY2] L[Y1] iL[Y2] F1			iF2 .

Учитывая определение равенства комплексных чисел, имеем L[Y1] F1,

L[Y2] F2 .

Теорема 9. Если Y(n)(x) является решением линейной неоднородной системы

L[Y] F ,

(5.50)

140

а Y(0)(x) - решением соответствующей однородной системы L[Y] , то

сумма	Y(n)(x) Y(0)(x) также будет решением неоднородной системы
(5.22).
Доказательство. По условию теоремы L[Y(n)] F и L[Y(0)] , где -

нулевой вектор. Покажем, что L[Y(n) Y(0)] F . Действительно, используя линейность оператора L, будем иметь:

L[Y(n) Y(0)] L[Y(n)] L[Y(0)] F F.

Таким образом, теорема доказана.

Теорема 10 (об общем решении неоднородной системы). Общее решение на отрезке x [a,b]неоднородной системы (5.22) с непрерывными на

[a,b]	коэффициентами aij (x) и непрерывными правыми частями fi (x) равно
	n
сумме	общего решения Yoo(x) CiYi , соответствующей неоднородной
	i 1

системы (Yi (x) - линейно независимые решения однородной системы) и

частного решения Yчн (x) рассматриваемой неоднородной системы.

Доказательство. Как отмечалось выше, достаточными условиями существования и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений

dyk	f	k	(x, y ,..., y	n	) (k 1,2,...,n),

dx			1

с начальными условиями yk (x0) yk0, являются: непрерывность всех функций

fk в окрестности начальных данных и ограниченность	fk	. Очевидно, что
	yk

для нормальной линейной системы с непрерывными aij (x)	и fi (x) эти условия

выполняются при	x [a,b]. Поэтому для доказательства сформулированной
теоремы достаточно показать, что подбором постоянных Ci		в решении
n
Y CiYi Yчн можно удовлетворить произвольно заданным		начальным
i 1
условиям Y(x0) Y0	colon(y10, y20,...,yn0).
Покажем, что векторное уравнение
	n
	CiYi(x0) Yчн (x0) Y0
	i 1
или эквивалентная система алгебраических линейных по		Ci (i 1,...,n)
уравнений

141

n

Ci y1i(x0) yчн1(x0) y10,

i 1

	n
	Ci y2i(x0) yчн2(x0) y20,
							(5.51)
	i 1						(5.51)


	n
	Ci yni (x0) yчнn(x0) yn0
	i 1
имеет решение C(0)	,...,C(0)	, при любых правых частях y	k0	y	чнк	(x	) системы
1	n		k0		чнк	0

(5.51). Но определитель этой системы равен определителю Вронского в точке x x0. Для линейно независимых решений Y1,Y2,...,Yn соответствующей однородной системы он отличен от нуля. Следовательно, система (5.51) имеет решение C1(0),C2(0),...,Cn(0) при любых правых частях. Теорема доказана.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

В том случае, когда удалось найти общее решение однородной системы линейных уравнений, соответствующей заданной неоднородной системы, для нахождения частного решения последней (а вместе с тем и общего ее решения)

применяется метод Лагранжа.
Теорема 11.		Пусть на сегменте				[a,b] матрица A(x) и вектор F(x)
непрерывны (т.е. матричные элементы aij (x)							и координатные функции fi (x)
непрерывны	при	x [a,b]).		Пусть известна фундаментальная					система
решений	для	соответствующей				однородной системы			уравнений
Y (x) A(x)Y(x) .		Тогда	общее		решение неоднородной системы				уравнений
Y (x) A(x)Y(x) F(x) может быть найдено с помощью квадратур.
Доказательство.			По	условию		теоремы фундаментальная система
решений однородной системы известна; т.е. известны функции
			z11(x),		z12(x), z1n(x),
			z21(x),		z22(x), z2n (x),

			zn1(x),		zn2(x), znn (x).
							n
Решение неоднородной				системы		yk aki(x)yi(x) fk (x)		(k 1,2,...,n)
будем искать в виде						i 1
будем искать в виде
		yk Ci (x)zik (x) fk (x)					(k 1,2,...,n),		(5.52)
			i 1

где Ci(x) (i 1,2,...,n)- некоторые непрерывно дифференцируемые функции.

Отметим, что при постоянных Ci формула (5.52) дает общее решение

142

однородной системы.

Подставим (5.52) в уравнения системы. Получим

n			n	n
					(k 1,2,...,n).
(Ci	(x)zik (x) Ci (x)zik (x)) akj(x) Ci (x)zij (x) fk (x),				(k 1,2,...,n).
i 1			j 1	i 1
Изменив порядок суммирования в правой части этого равенства,
получим
n			n	n
(Ci(x)zik (x) Ci(x)zik		(x)) Ci(x) akj (x)zij (x) fk (x),			(k 1,2,...,n).
i 1			i 1	j 1
Запишем последнее равенство в виде
n	n		n		(k 1,2,...,n).
Ci (x)zik (x) Ci (x) zik			(x) akj (x)zij (x) fk (x),		(k 1,2,...,n).
i 1	i 1		j 1
i 1	i 1		j 1

Принимая во внимание, то что zik (x) - фундаментальная система решений однородной системы уравнений, видим: выражение в квадратной скобке во второй сумме равно тождественно нулю. В результате мы приходим к следующей алгебраической системе уравнений для определения производных

Ci (x)

		n
		Ci(x)zik (x) fk (x),				(k 1,2,...,n)
		i 1
или в развернутом виде
z	(x)C	(x) z	(x)C	(x) z	n1	(x)C	(x) f	(x),
11	1	12	2		n1	n	1
	(x)C2(x) z22(x)C2(x) zn2(x)Cn(x) f2(x),
z21	(x)C2(x) z22(x)C2(x) zn2(x)Cn(x) f2(x),
									(5.53)
									(5.53)

	(x)C1(x) zn2(x)C2(x) znn(x)Cn(x) fn(x).
zn1	(x)C1(x) zn2(x)C2(x) znn(x)Cn(x) fn(x).

Определителем этой линейной системы уравнений является определитель Вронского, который, в силу линейной независимости функций zik (x), отличен от нуля при x [a,b].

Решая систему (5.53) методом Крамера, получим

n	Wki(x)
Ci (x) fk (x)		(i 1,2,...,n),	(5.54)
	W(x)
k 1		Wki (x) - алгебраическое
где W(x) - определитель Вронского (5.33),
дополнение элемента zik (x) вронскиана W(x).		Отметим, что для удобства в

формуле (5.54) вспомогательные определители разложены по столбцу из свободных членов f1(x), f2(x),..., fn (x).

Интегрируя (5.54), находим:

n x		Wki(x)
Ci(x)	fk (x)	Wki(x)	dx ci	(i 1,2,...,n).	(5.55)
Ci(x)	fk (x)		dx ci	(i 1,2,...,n).	(5.55)
k 1x		W(x)
0
	143

Подставив эти значения Ci (x) в формулу (5.52), получаем:

n	n x	Wji(x)	n
yk (x) zik (x) f j(x)		Wji(x)	dx cizik (x),	(k 1,2,...,n).	(5.56)
yk (x) zik (x) f j(x)		W(x)	dx cizik (x),	(k 1,2,...,n).	(5.56)
i 1	j 1x	W(x)	i 1
	0

Формулы (5.56) определяют общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Первые выражения в (5.56) дают частное решение неоднородной системы, а вторые выражения – общее решение соответствующей однородной системы уравнений.

Таким образом, задача интегрирования линейной неоднородной системы сводится к задаче построения фундаментальной системы решений соответствующей ей однородной системы уравнений и последующего нахождения квадратур.

Пример. Найти общее решение неоднородной системы

dy	z,	dz	y	1	ln x,
		dx		x2
dx

если известно общее решение соответствующей однородной системы

y C ex	C	e x ,	z C ex	C	e x.
1	2		1	2

Решение. Общее решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных:

y C

(x)ex C

2

(x)e x ,

z C (x)ex C

2

(x)e x.

(*)

1

Функции C1(x) и

C2(x) определяем из системы уравнений:

C (x)ex

C (x)e x 0,

C (x)ex C

(x)e x

1

ln x.

1

2

1

2

x2

C (x)

Разрешим полученные уравнения относительно неизвестных функций

и C (x)

. Складывая эти уравнения,

а затем вычитая из первого второе,

1

2

получим:

dC (x)

1

e x

1

dC

2

(x)

1

ex

1

ln x

,

lnx .

dx

2

x

2

x2

1

x

1

Отсюда

C1,2(x)

e

ln x dx c1,2

,

2

x2

где

c1,2 - произвольные постоянные.

Используя метод интегрирования по

частям udv uv vdu, получим:

e

x 1

u e x,

du e xdx

e

x

e

x

1

dx

x

2

dv x 2dx,

v x 1

x

u e x,

du e xdx

e

x

e x ln x e x ln xdx c1.

dv x 1dx,

v lnx

x

Подставляя вычисленный интеграл в выражение для C1(x) и проделав

144

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: