Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 146-150

аналогичную процедуру с интегралом, входящим в C2(x), получим:

	1	e x	1							1	ex	1
C	(x)			ln x	c	,	C	2	(x)				ln x	c	2 .

1	2		x		1					2		x

Найденные функции подставим в выражения (*). То есть, общее решение системы записывается в виде:

y c ex	c	2	e x	lnx ,	z c ex	c	2	e x	1	.

1					1				x

5.5.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами. Метод Эйлера построения фундаментальной системы решений

Вданном разделе изучаются линейные системы дифференциальных уравнений вида (5.15), сокращенная форма записи которых следующая

		dyk	n
		dyk	aki yi fk (x)		(k 1,2,...,n)		(5.57)
		dx	aki yi fk (x)		(k 1,2,...,n)		(5.57)
		dx	i 1
или Y AY F(x) .
Здесь	постоянные вещественные				коэффициенты aki (k,i 1,2,...,n) -
элементы	матрицы		A,	Y colon(y1,..., yn),		F(x) colon( f1,..., fn ),	fk (x)
(k 1,2,...,n)- непрерывные в				(a,b) функции.

Из общей теории линейных систем уравнений, изложенной в предыдущих параграфах этой главы, следует существование решения этой системы и единственность решения начальной задачи. Здесь мы покажем, что систему (5.57) можно проинтегрировать в конечном виде, выражая решение либо через элементарные функции, либо в квадратурах.

В п. 5.5 было показано, что интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной системы. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений можно найти методом вариации постоянных, если известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы

	dyk	n
		aki yi	(k 1,2,...,n),	(5.58)
	dx
		i 1
или		Y AY .		(5.59)

Ниже будет показано, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, непрерывно дифференцируемых в интервале ( , ).

Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы.

Частное решение системы (5.58) будем искать в виде

145

y

e x,

y

2

e x

,...,y

n

e x

(5.60)

1

или, что тоже самое, в векторной форме

Y e x ,

colon( 1, 2,..., n),

(5.61)

где

1, 2,..., n

и

- некоторые постоянные, причем числа 1, 2,..., n не

равны нулю одновременно (при

1 2

... n 0 получили бы

нулевое

решение, которое не может входить в фундаментальную систему решений).

Необходимо найти постоянные 1,

2,

..., n

и

так, чтобы функции

yk

ke x удовлетворяли системе (5.58) .

Подставляя в векторное уравнение (5.58) искомое решение (5.61) и

учитывая Y e x , находим

e x e x A ,

или

(A E) ,

(5.62)

где colon(0,0,...,0),

E diag(1,1,...,1).

Равенство

(5.62) показывает:

функция

(5.61)

является

решением

рассматриваемой однородной системы в том случае, когда - собственное число матрицы, - принадлежащий этому собственному числу собственный вектор этой матрицы.

В координатной форме уравнения (5.62) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида

(a11 ) 1 a12 2 a1n n								0,
			) 2 a2n n					0,
a21 1 (a22			) 2 a2n n					0,
									(5.63)
									(5.63)

a	a	n2	2	(a	nn	)	n	0.
n1 1		n2	2		nn		n

Отметим, что систему (5.63) можно получить и непосредственно, минуя операции в матричной форме, если подставить функции (5.60) в уравнения

(5.58).

Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель системы (5.63) должен быть равен нулю, то есть

		a11	a12		a1n
( )	A E	a21	a22		a2n	0.	(5.64)
		a21	a22		a2n


		an1	an2	ann

Алгебраическое уравнение (5.64) называется характеристическим

уравнением для системы типа (5.58) с постоянными коэффициентами aij .

Среди корней характеристического многочлена с действительными коэффициентами в правой части (5.64) могут быть:

1)	простые действительные корни i,(i 1,2,...n);
2)	кратные действительные	корни k кратности Sk , при этом
		146

						l
сумма всех кратностей, включая простые корни m с					Sm 1,	S j n,
где l l - число различных корней;						j 1
где l l - число различных корней;
3)	среди	корней	есть	комплексно-сопряженные			пары
m m ivm,	m 1	m ivm, простые или кратные.
Соответственно этим случаем			Y(k)	из (5.60) могут иметь следующий
вид:

1.Все i - действительные и различные.

Тогда фундаментальная

система

решений

может

быть

записана

следующим образом:

y(1)

(1) e 1x; y(1)

(1) e 1x

(1) e 1x ,

:Y(1)

; ;y

(1)

1

2

n

:Y(2)

y(2)

(2)

e 2x; y(2)

(2) e 2x

; ; y

(2)

(2) e 2x ,

2

1

2

n

:Y(n)

y(n)

(n) e nx; y(n)

(n) e nx

; ;y

(n)

(n) e nx .

n

1

2

n

Здесь i(k), (i 1,..., n)

находятся

для

каждого

Y(k)

из (5.63)

при

соответствующем значении k

(k 1,...,n). При этом общее

решение

(5.59)

для данного случая имеет вид

(1)

e 1x

(2) e 2x

(n) e nx ;

y (x) C

C

n

1

2

1

y

2

(x) C

(1)

e 1x

C

2

(2) e 2x

C

n

(n) e nx ;

1

21

2

y

n

(x) C

(1) e 1x

C

2

(2) e 2x

C

n

(n)

e nx.

1

n

Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dy

y 2z

dx

dz

z

dx

du

2y z 2u.

dx

Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим

образом:

x

1

2

0

dX

AX,

где

A

0

1

0 ,

X y .

dt

2

1

2

z

Запишем характеристическое уравнение (5.64) для этой системы

147

		1			2		0
	( )	0	1				0			0;					(1 )(1 )(2 ) 0.
		2			1		2
Корни	этого уравнения					1 1; 2 1; 3											2	все			действительные					и
различные, следовательно,				Y(1)		1(1)ex;							2(1)ex;				3(1)ex
				Y(1)		1(1)ex;							2(1)ex;				3(1)ex
				Y (2)		1(2)e x;							2(2)e x;					3(2)e x ,
		(1)		Y(3) 1(3)e2x;									2(3)e2x; 3(2)e2x .
Найдем из (5.63)		(1)	,		(i 1, 2, 3),					соответствующие корню
		i																				1
		(1 1) 1 2 2												0
															0
		( 1 1) 2													0
		2		1		2	(2 )							3	0.
				1		2			1					3
Так как определитель этой системы													( 1) 0, то одно из неизвестных
можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку
							Mij			0				2		0
										0				2
										2				1
										2				1
и ранг этой	системы равен двум.							Пусть							3 1,			тогда			2	0 и		1		1	.
и ранг этой	системы равен двум.							Пусть							3 1,			тогда			2	0 и		1			.
Поэтому																									2
Поэтому											1
					Y(1)(t)						1	ex; 0;					ex .
					Y(1)(t)							ex; 0;					ex .

										2
Для определения i2,					(i 1,2,3) получим
	(1	2) 1 2 2						0											2		2	0
	(1	2) 1 2 2						0
								0															0.
	( 1 2) 2							0						, ( 2)					0		0 0		0.
		2 (2 2) 3 0												, ( 2)					0		0 0
	2 1	2 (2 2) 3 0																	2		1 3
Так как ( 2) 0,положим							2	1, при этом										Mij			2	0	0,	поэтому
																					2	0
																				2		3
																				2		3
2 1 0 3 2 2										1;					3		1.
	и следовательно 1									1;					3		1.
2 1 3 3 2

Y(2) e x; e x; e x .

Аналогично для нахождения i(3), (i 1,...,3) будет

148

(1	3) 1 2 2				0		1	2 0

			)		0				0
( 1		3		2		, ( 3)	0	3 0		.

2 1	2 (2 3) 3 0						2	1 0

Пусть 3 1, тогда 2 1 0, поэтому

Y(3) 0; 0;

e2x .

Общее решение системы будет иметь вид

y(x) 1 C1ex C2e x, 2

z(x) C2e x,

u(x) C1ex C2e x C3e2x.

2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные. Пусть корень k имеет кратность Sk , тогда этому корню в

фундаментальной системе решений будут соответствовать Sk строк:

: Y(k)

(k)

k

x

;

(k)

e

k

x

(k)

k

x

k

e

; ...;

e

;

1

2

n

:Y(k 1)

(k 1)

x e

x

;

(k

x

;...;

x

k

1) x e

k

(k 1)

x e

k

;

1

2

n

……………………………………………………………..

(k S 1)		(k S 1)		S 1 x		(k S 1)		S 1 x
(k S 1)		(k S 1)		S 1 x		(k S 1)		S 1 x
:Y	k		k	x k	e k ;		k	x k	e k ;...;
		1				2

(k S		1) S	1		x
(k S		1) S	1	k
	k	x k	e	k	.
n

Пример 2.

Найти

общее

решение

системы

дифференциальных

уравнений

dy

2y z

d

y

2

1 y

dx

или

.

dz

dx

z

1 0 z

y

dx

Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет

( )

2

1

0,

то есть 2

2 1 0

или

2

1.

1

Запишем фундаментальную систему решений

x ex ..

Y(1) 1(1)

ex; 2(1)

ex ; Y(2)

1(2)

x ex;

2(2)

Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получим однородную систему уравнений для

определения i( j)	с рангом r 2
	149

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: