Документ: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П, страницы 46-50

Задание 4.3. Определите мощность, потребляемую от источника сигнала в цепях, показанных на рис. 4.12. Проведите расчеты, рассматривая цепь как двухполюсник или выделив в ней энергопотребляющие элементы.

Задание 4.4. Постройте «качественные» полные векторные диаграммы цепей, показанных на рис. 4.13.

Рис. 4.13

Задание 4.5. Тригонометрическим методом определите амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на элемен-

тах	цепи, показанной на	рис. 4.10, при R1 R2 1 кОм,
C	1нФ и e(t) 10sin(106 t	600 ) В.

Постройте полную векторную диаграмму цепи, сравните ее с приведенной на рис. 4.11. Определите мощность, потребляемую цепью от источника.

89

5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

5.1. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Для гармонического сигнала (тока или напряжения) s(t) S cos( t ) комплексная амплитуда равна

			S e	j
					, j	1 .
		S
	Комплексная амплитуда является комплексным числом

( j	1 - мнимая единица) и определяется только амплиту-

дой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом,

что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху (в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического

напряжения равно u(t)	10cos(		t	/ 3) В, то его комплексная
	10e	j / 3			10e	j 600	В.
амплитуда имеет вид U			В или U

Для определения комплексной амплитуды гармонический сигнал должен быть записан в канонической

форме

s(t) S cos( t

) .

(5.1)

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.

Таблица 5.1.

cos( ) cos(	)	sin( ) cos(	/ 2)	sin( ) cos(	/ 2)

90

	Если			гармоническое	напряжение	имеет	вид
u(t)	5sin(			t 400 ) мВ, то после преобразования получим
u(t)	5 cos( t			500 ) мВ, а комплексная амплитуда будет рав-
	5e	j 500	мВ.
на U	5e		мВ.

5.2. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.

В алгебраической форме комплексное число				запи-
В алгебраической форме комплексное число			S	запи-
сывается в виде
S	a	jb ,		(5.2)
где a - действительная, а	b -	мнимая части комплексного

числа, j 1 .

В показательной форме комплексное число представляется выражением

			Se	j	,	(5.3)
		S	Se		,	(5.3)
величину S	S	называют модулем,			а	- аргументом ком-
величину S	S	называют модулем,			а	- аргументом ком-

плексного числа.

От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

S		a 2		b2 ,	(5.4)
а аргумент
arctg			b	при a	0 ,
arctg			a	при a	0 ,
			a		(5.5)
	b				(5.5)
arctg	b			при	a 0.
arctg	a			при	a 0.
	a

91

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) 2любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до 2 .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

a	S cos(	),	(5.6)
b	S sin(	).

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

			e j		cos(					)		j sin(			).		(5.7)
Например, если комплексное число в алгебраической
форме равно S			2 j4 , то в показательной форме его можно
записать в виде
											iarctg		4
						2			2		iarctg		2			j1,107	.
			j4	2		2		4	2	e			2		4,472e	j1,107
	S 2		j4	2				4		e					4,472e
Если комплексное число равно S													2		j4 , то в показательной
форме получим
											i arctg		4
S	2		j4	22			42 e						2		4,472e j 2,034 .
Для комплексного числа в показательной форме в виде
S 5e j 300	его алгебраическая форма имеет вид
	5e	j300	5cos(30				0	)			j5sin(30			0	) 4.33	j2.5 .
S	5e		5cos(30					)			j5sin(30				) 4.33	j2.5 .
									92

		С комплексными числами проводятся все четыре ариф-
метические действия.
		При	сложении			и	вычитании комплексных							чисел
S	a	jb	и S	a	2	jb	в алгебраической форме получим
1	1	1	2		2	2
			S	S		S	a	a	2	j(b	b	2	) .	(5.8)
					1	2	1		2	1		2

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда S1 S1e j 1 и S2 S 2 e j 2 , при

этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

S1 S2		S1 S2 e j (				1	2 ) ,		(5.9)
а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,
	S1		S1	e	j (	1	2 )	.	(5.10)
	S2		S2	e				.	(5.10)
	S2		S2

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что j 2 1,

S	S	(a	jb )(a	2	jb )	(a a	2	b b )		j(a b		a	2	b ) . (5.11)
1	2	1	1	2	2	1	2	1	2	1	2		2	1
		При	делении		комплексных			чисел		в	алгебраической

форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для за-

	jb комплексно сопряженное число	*
данного числа S a	jb комплексно сопряженное число	S
	93

равно	*	a jb , то есть отличается от		противоположным
	S		S

знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

												"			a	2	b		2	.						(5.12)
											S	S			a		b			.						(5.12)
Тогда при делении в алгебраической форме получим
					S				a		jb		(a				jb )(a				2			jb )
					1					1	1			1			1				2			2
					S				a	2	jb		(a	2			jb )(a					2		jb )
				2						2	2			2			2					2		2
								(a1a2			b1b2 ) j(a2b1										a1b2 )					(5.13)
												(a 2			b	2 )										(5.13)
												(a 2			b	2 )
												2			2
									(a1a2		b1b2 )				j	(a2b1							a1b2 )		.
															j										.
										(a 2	b	2 )					(a	2					b2 )
										2	2							2					2
		Рассмотрим пример S1													2		j3 и S2							4		j2 , тогда
			S1		S2				(2 4 3 2) j(2 2 3 4) 14 j8 ,
	S1		2	j3			(2 j3)(4						j2)				(2	4					3	2)		j(3 4 2 2)
	S2		4 j2							42 22														20
				2		j		16			0,1	j0,8.
		20				j		20			0,1	j0,8.
		20						20

Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда

						jarctg	3
S1							2
S1	2	j3	13 e				2	,
					e jarctg		2
S2
							4
	4	j2		20			4	,
			94

				e j	arctg		3	arctg	1
S1	S2
							2		2			j 0,519
		13 20					2		2	16,125e		j 0,519	14 j8 ,
	S1				2			2			j1,446
	S1	13			2			2			j1,446
			j	arctg	3	arctg		1
			j	arctg		arctg
			e							0,806e		0,1	j0,8 .
	S2
		20
		20

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),

j e j / 2

1 e j0

1 e j

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ

MathCAD.

5.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

U	ZI	или I	YU ,	(5.14)

где Z - полное комплексное сопротивление,				а Y -

полная комплексная проводимость участка цепи.

Первый закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,

K

I k

0 .

(5.15)

Второй закон Кирхгофа; алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,

K	N	(5.16)
U k	E j .	(5.16)

i 1	j 1

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

5.4.Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений Z

и проводимо-

стей Y элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запом-

ните эти формулы).

Таблица 5.2

R

L

C

Комплексное

R

j

L

1

j

1

сопротивление Z

j

C

Комплексная

G

1

j

1

j

C

проводимость Y

R

j L

L

96

95

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления R всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления Z из закона Ома (5.14) можно записать

Ue

j

u

U

Z

U

e

j ( u i )

e

j

,

(5.17)

I

Ie

j

i

I

где

u

i - сдвиг фаз между напряжением и током в эле-

менте. Для сопротивления R напряжение и ток совпадают по

фазе, то есть

0 и из (5.17) величина Z действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на

900 (на

/ 2

радиан), следовательно

/ 2 , тогда e j

/ 2

j

и величина

комплексного

сопротивления индуктивности

Z

оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости / 2 , e j / 2 j и ее ком-

плексное сопротивление имеет нулевую действительную и

отрицательную мнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

5.5. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

97

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, по-

казанной

на

рис. 5.1а

при

R 10 кОм и C 100 пФ на

частоте

f

80

кГц

равно

Z

R

1

10

j19,89 кОм,

j2 fC

Рис. 5.1.

а проводимость параллельной

цепи на рис 5.1б -

Y

1

j2 fC

1 10

4

j5,027 10 5 Сим.

R

Зная комплексное сопротивление цепи, можно опреде-

лить ее комплексную проводимость и наоборот,

Y

1

,

Z

1

.

(5.18)

Z

Y

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее

проводимость равна

Y

1

j2 fC

j2 fC 1

j2 fCR

R

1

1 j2 fCR

1

j2 fCR 1

j2 fCR

j2 fC

j2 fC 1

j2 fCR

2,017 10 5

4,013 10 5 Сим.

1 2 fCR 2

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

98

Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

Смотрите также: