Материал: Основы квантовой физики. методические указания к решению задач по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Монохроматическое излучение с длиной волны, равной 500нм, падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой 10нН. Определить число фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность. [3,77∙10¹⁸]

2. Точечный источник света потребляет 100Вт и равномерно испускает свет во все стороны. Длина волны испускаемого при этом света 589нм. КПД источника 0,1%. Вычислить число фотонов, выбрасываемых источником за 1с. [3∙10¹⁷ с^-1]

3. Импульс лазерного излучения длительностью 0,13с и энергией =10Дж сфокусирован в пятно диаметром d=10мкм на поверхность с коэффициентом отражения ρ=0,5. Найти среднее давление такого пучка света. [5 МПа]

4. Параллельный пучок монохроматических лучей с длиной волны 0,5мкм падает нормально на зачерненную поверхность и производит давление 10^-5 Па. Определить концентрацию электронов в потоке и его интенсивность, т.е. число частиц, падающих на единичную поверхность в единицу времени.[2.52∙10¹³м^-3; 7.56∙10²¹м^-2с^-1]

5. Поток энергии, излучаемый электрической лампой, равен 600Вт. На расстоянии R=1м от лампы перпендикулярно к падающим лучам расположено круглое плоское зеркало диаметром d=2см. Принимая, что зеркало полностью отражает падающий на него свет, определить силу F светового давления на зеркальце. [0,1нН]

6. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 662 нм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление Р = 0,3 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке. [n = 10¹² м ^-3]

7. Свет с длиной волны 700 нм нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление P=0,1мкПа. Определить число фотонов n, падающих за время t=1с на площадь 1см² этой поверхности. [n = 5,3∙10¹⁵ см^-2∙с^-1]

8. Определить энергию, массу и импульс фотона, соответствующего рентгеновскому излучению с длиной волны λ=0,001мкм.[ε=1,23∙10³эВ; m=2,210^-33 кг; р = 6,6∙10^-25 кг∙м/с]

9. Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы его масса была равна массе покоящегося электрона? [0,243нм]

10. Плоская световая волна интенсивностью I=0,1Вт/см² падает под углом α=30⁰ на плоскую отражающую поверхность с коэффициентом отражения ρ=0,7. Определите нормальное давление оказываемое светом на эту поверхность.[4,25 мкПа]

11. На поверхность площадью 100см² ежеминутно падает 63Дж световой энергии. Найти величину светового давления в случаях, когда поверхность: 1) полностью отражает все лучи и 2) полностью поглощает все падающие на нее лучи. [70мкПа, 35мкПа]

12. Монохроматический пучок света (λ=490нм), падая нормально на поверхность, производит на нее, давление равное 5.10^-7Па. Сколько квантов света падает ежесекундно на единицу площади этой поверхности? Коэффициент отражения света 0,25. [3,10²⁰]

13. Давление монохроматического света (λ=600нм) на черную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно 0,1мкПа. Определить число фотонов, падающих за одну секунду на поверхность площадью 1см². [1,5.10¹⁵]

14. Параллельный пучок света длиной волны λ=500нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р=10мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число N фотонов, падающих на поверхность площадью 1см² за время 10с. [2,5.10¹³,7,5.10¹⁸]

15. Импульсный лазер за время 100мкс испускает луч света, имеющий диаметр 0,20мм и энергию 30,0Дж. Какое среднее давление оказывает такой луч на идеальное зеркало, установленное перпендикулярно направлению его распространения? [3,8.10⁵]

1.4. Эффект Комптона Теоретический материал

Эффект Комптона является результатом упругого столкновения рентгеновского фотона со свободным электроном. Изменение длины волны Δλ фотона при рассеянии его на угол определяется выражением

Δλ = λ^׳ - λ = λ_к (1- cos ),

где =2,43пм - комптоновская длина волна, - масса покоя электрона.

При рассеянии выполняются законы сохранения энергии и импульса

,

,

где и - соответственно энергия налетающего и рассеянного фотона, и - энергия покоя и полная энергия электрона, и - импульс налетающего и рассеянного фотона соответственно, -импульс электрона отдачи.

Примеры решения задач

Задача 1. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле φ= /2 между направлениями их разлета.

Решение

Кинетическая энергия Т электрона отдачи на основании закона сохранения энергии равна разности между энергией ε падающего фотона и энергией ε' рассеянного фотона

Т = - .

По условию задачи Т = , значит, = 2 , или

hс/λ = 2hс/λ^׳ ,

откуда λ / λ' = 0,5, а с учетом формулы p = h/λ , p^׳/p = 0,5.

В

.

Построим векторную диаграмму. Угол φ = 90° между направлениями разлета рассеянного фотона и электрона отдачи складывается из углов и α (рис.1.1), т.е. φ = + α. Но α=arcsin (p'/p)=30°, и, следовательно,

= φ – α =60° .

Учитывая, что на основании формулы Комптона λ=0,5λ_к, получаем

p=h/0,5λ_к=2m₀с=1,02МэВ/с .

З

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

= hc/λ =m₀с² ,

то

λ = h / m₀с, а p = h / λ = m₀с.

В соответствии с формулой Комптона для данного случая

λ^{׳ –} λ = λ_к (1 – cos 180⁰) = 2λ_к,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

λ^׳ = 2λ_к + λ = 2h /(m₀ с) + h / (m₀ с) = 3h / (m₀ с).

Величина его импульса

p' = h / λ^׳ = m₀с/3.

Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов (рис.1.2). По закону сохранения импульса или

.

Из полученного уравнения найдем

m = 3,64∙10^-22 кг∙м/с.

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Рентгеновские лучи с длиной волны = 0,2Å испытывают комптоновское рассеяние под углом 90°. Найти: 1) изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии; 2) энергию электрона отдачи. [0,024 Å, 6,7 кэВ]

2. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен /2. Найти энергию и импульс рассеянного фотона. [0,258 МэВ, кг м/с]

3. Рентгеновские лучи с длиной волны = 0,708 Å испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти длину волны рентгеновских лучей, рассеянных в направлениях: 1) /2; 2) . [0,732 Å, 0,756 Å]

4. Рентгеновское излучение длиной волны =55,8пм рассеивается плиткой графита. Определить частоту света, рассеянного под углом =60° к направлению падающего пучка света. [5,26 Гц]

5. Энергия падающего фотона равна энергии покоя электрона. Определить энергию рассеянного фотона, если угол рассеяния равен 1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.[743МэВ, 0,258МэВ, 171МэВ]

6. Фотон с энергией =0,25МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного фотона равна 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния. [60⁰]

7. Угол рассеяния фотона равен 90°. Угол отдачи электрона равен 30°. Определить энергию падающего фотона. [0,37МэВ]

8. Длина волны света, падающего на вещество со свободными электронами, =0,003 нм. Какую энергию приобретут электроны отдачи при рассеянии кванта под углом =60°? [0,117 МэВ]

9. Поток жестких рентгеновских лучей (λ =24пм) при соударении со свободным электроном передал ему 9% своей энергии. Определить длину волны рассеянного рентгеновского излучения. [26,4 пм]

10. Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии равно 2,4пм. Вычислить угол рассеяния и величину энергии, переданной при этом электрону отдачи, если длина волны рентгеновских лучей до взаимодействия 10 пм. [24,3 эВ]

11. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 180°? Энергия фотона до рассеяния равна 0,255МэВ. [0,5]

12. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под углами, равными 60⁰ и 120⁰, отличаются друг от друга в n=2 раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения. [1,2 пм]

13. Фотон с длиной волны, равной 6,0пм, рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи. [v=3,55∙10²⁰ с^-1; Т=60кэВ]

14. Фотон с энергией 0.46МэВ рассеялся под углом 120° на покоившемся свободном электроне. Определить относительное изменение частоты фотона. [0,57]

15. Определить угол , под которым был рассеян гамма-квант с энергией =1,02МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т=0,51МэВ. [60°]

16. Найти энергию налетающего фотона, если известно, что при рассеянии под углом 90° на покоившемся свободном электроне последний приобрел энергию 300 кэВ. [0,57 МэВ]

17. Фотон с энергией ₁, равной энергии покоя электрона, испытывает комптоновское рассеяние на свободном электроне. Определить: а) максимально возможное изменение длины волны фотона; б) максимальную энергию и импульс электрона отдачи; в) энергию и импульс электрона отдачи при условии, что фотон рассеивается под углом 90°. [а) 4.810^-6мкм; б) 0.34 МэВ, 3.63∙10^-22 кг м/с; в) 0.256 МэВ, 3∙10^-22 кг м/с]

18. Рентгеновский фотон с энергией ε_ф = 20 кэВ претерпевает комптоновское рассеяние на свободном электроне на угол  = 90º. Чему равна энергия электрона отдачи? [756 эВ]