Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Y

M(x,y)

Лемниската Бернулли симметрична относительно начала координат, которое является узловой точкой с касательными y x и точкой перегиба. Площадь каждой петли S a2 . Лемни-

ската Бернулли названа по имени Я. Бернулли, в статье которого впервые встречается уравнение этой кривой (1694 г.).

21

При изменении угла в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти. Поэтому линия будет расположена симметрично относительно начала координат. Для ее построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям , и на каж-

дом луче откладываем найденные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной линией (рис. 1.16).

2 9sin 2 9 2 sin cos 18sin cos , то, используя формулы (1.1) и (1.2) перехода к де-

Окончательно имеем

x2 y2 2 18xy .

1.3.3. Кардиоида

Плоские кривые, представляющие траектории точки окружности, катящейся по другой окружности и имеющей с ней внешнее касание, называются эпициклоидами. В зависимости от величины отношения m R / r ( r и R – радиусы катящейся и неподвижной окружностей соответственно), получаются эпициклоиды различной формы. При m 1 эпициклоида называется кар-

22

диоидой. Рассмотрим пример, позволяющий более подробно рассмотреть эту кривую.

Пример 1.16. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой, неподвижной окружности такого же диаметра. В полярной системе координат составить уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.

Решение. Пусть на плоскости дана некоторая точка O (полюс) и проходящая через нее ось O (полярная ось), а также указана единица масштаба. Построим окружность диаметра а с

центром в точке C2 (рис. 1.17). Это неподвижная окружность, по ней катится без скольжения окружность такого же диаметра с центром в точке C1, оставаясь, все время вне неподвижной окружности. Траектория некоторой точки M окружности катящегося круга называется кардиои-

дой.

Пусть A – первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка A диаметрально противоположна точке B, где в начальный момент соприкасаются окружности); M – новое положение точки A, описывающей искомую линию. После перемещения окружности C1 в положение C3 точка P займет положение D, причем, поскольку качение происходит без скольжения, длина дуги BQ равна длине дуги DQ, QC2 B QC3D . На рис. 1.17 ось OX совмещена с

полярной осью O , полюс – с началом координат. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки M ( , ) искомой линии.

M

Рис. 1.17. Геометрические построения к выводу уравнения кардиоиды

Угол MC3Q равен углу OC2Q , в силу чего четырехугольник OC2C3M является равнобед-

а соответствующая ему кривая является кардиоидой (рис. 1.18).

23

Y

M

y

0 x N X ,

Рис. 1.18. Кардиоида a(1 cos )

Поскольку при замене на уравнение кардиоиды не меняется, то кардиоида распо-

Полученное уравнение кардиоиды в декартовых координатах весьма сложно, поэтому для построения этой кривой удобнее всего использовать уравнение в полярных координатах

a(1 cos ) .

Пример 1.17. Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах

a(1 cos ) .

Решение. Заданная кривая также называется кардиоидой. Для ее построения используем тот факт, что при замене на , (в силу четности косинуса) уравнение не изменится, то есть кривая будет симметрична относительно полярной оси. Поэтому таблицу значений для функции

24

( ) a(1 cos ) достаточно составить для 0 , а затем отобразить эту часть графика на интервал 2 . Для удобства построения составим табл. 1.4.

Точки с координатами, заданными таблицей, строим в полярной системе координат, используя полярную сетку (см. пример 1.13). Соединив полученные точки плавной линией, получим заданную кривую (рис. 1.19).

/ 2

Рис. 1.19. Построение кардиоиды a(1 cos ) с использованием полярной сетки

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1.9.Построить кривые: а) sin 3 ; б) cos2 ; в) 2(1 cos ) .

1.10.Построить кривые: а) 2 cos ; б) 3 2sin 2 ; в) 2 sin 3 .

1.4. Спирали

Спиралями называются плоские кривые, которые обходят вокруг одной или нескольких точек, приближаясь или удаляясь от них. Алгебраические спирали – спирали, уравнения которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных и . Далее подробно рассмотрим следующие алгебраические спирали: спираль Архимеда, гиперболи-

25