Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Угол, образованный касательной MK полярным радиусом

5.9. Точка движется вдоль прямой по закону s=2t3-3t+4. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t = З с.

Решение. Скорость точки определяется первой произ-

водной по времени v = dsdt = 6t 2 −3 . При t=3 скорость равна

v(t = 3) = 6 32 −3 = 51 c-1.

Ускорение точки определяется второй производной

w = d 2 s =12t . dt 2

При t=3 ускорение равно w(t = 3) =12 3 = 36c−2 .

5.10. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой ϕ = t2+2t+4. Найти угловую скорость и уско-

рение при t= 4 с.

Решение. Угловая скорость определяется первой произ-

водной от угла поворота по времени ω = ddtϕ = 2t + 2 , а угловое

ускорение определяется второй: ε = d 2ϕ = 2 . dt 2

При t = 4 угловая скорость равна ω = 2 4 + 2 =10 1с , а уг-

ловое ускорение постоянно, от времени не зависит, и равно

2 с12 .

5.11. Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной

скоростью v0 м . Определить скорость и ускорение движения

с

снаряда. На каком расcтоянии от земли и через сколько секунд

171

снаряд достигнет наивысшей точки? (Сопротивлением воздуха пренебречь).

Решение. Уравнение движения тела, брошенного верти-

кально вверх, имеет вид x = v0t − gt22 где x - высота подъема

тела за время t, g - ускорение свободного падения.

Первая производная от пути определяет скорость движения снаряда v=v-gt, вторая производная - ускорение w = -g.

Когда снаряд достигнет наивысшей точки подъема, его скорость будет равна нулю, т. е. 0 = v − gt ,откуда время подъ-

ема t= vg0 с.

Чтобы найти расстояние снаряда от земли до наивысшей точки подъема, необходимо в уравнение движения подставить

Определить направление скорости в момент времени t = 4πk .

Решение. Скорость направлена по касательной к траектории.

Тангенс угла наклона касательной в момент t = t0 равен

правлена к положительному направлению оси Ох под углом

172

5.13. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, определяется по закону q = 3t2-2. Найти силу тока в конце второй секунды.

Решение. Сила тока равна первой производной от коли-

чества электричества по времени I = dqdt = 6t . При t = 2 сила

тока равна I(I = 2) = 6·2 = 12а.

5.14. Зависимость между количеством q вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выра-

жается уравнением q = A(1 − e−at ) .

Определить скорость реакции.

Решение. Скорость реакции есть производная dqdt = Aae−at или q = a( A − q) .

2.6. Теоремы о среднем

10. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка и удовлетворяет условию f(a) = f (b) = 0, то между a и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f ′(ξ) = 0 .

Геометрически это означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f(x) равны нулю, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ох (рис.2.14). Теорема также верна, если f(a) = f(b) ≠ 0.

Рис. 2.14

173

20. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то между а и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f(b)-f(a)=(b-a) f ′(ξ) . Эта формула называется

формулой конечных приращений.

Геометрически это означает следующее: на дуге АВ (рис. 2.15) всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Рис.2.15

30. Теорема Коши, Пусть функции ϕ(x) и ψ (x) непрерывны на отрезке [а, b] и имеют конечные производные в каждой внутренней точке этого отрезка. Если эти производные не обращаются в нуль одновременно и ϕ(a) ≠ ϕ(b) , то между a и b

ϕ′(x) ≠ 0 в промежутке [а, b].

6.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: а) у = х2-2х-3 на отрезке [-1,3]; б) y = 1 - 5 x2 на от-

резке [-1,1].

174

Решение. а) Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. Значения функции на границах отрезка равны между собой у(-1) = y(З) = 0 и функция имеет конечную производную y′= 2x - 2 в каждой точке этого отрезка, следовательно, условия теоремы Ролля выполняются.

Значение ξ определяем из выражения y′= 0, 2x - 2 = 0,

т. е. ξ = 1.

б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого отрезка принимает равные значения y(-1)=y(1)=0. Находим

не существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены, то теорема Ролля к данной функции неприменима.

6.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для

Решение. а) Даная функция на отрезке [0,1] непрерывна и имеет конечную производную f ′(x) = x2 −1. Следовательно, условия теоремы Лагранжа выполняются. Точку ξ найдем из

[-1,1] не существует, то теорема Лагранжа к данной функции не применима.

175