Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

6.3. В какой точке касательная к параболе у = х2 +2х параллельна хорде, стягивающей точки A(−2,0) и B(1,3) ? Пояс-

нить графически.

Решение. Наклон хорды АВ (рис. 2.16) определяется уг-

гранжа f (1) − f (−2) = (1 + 2) f ′(ξ) , 3 = 3(2ξ +2), ξ = − 12 . Угло-

вой коэффициент касательной к данной кривой

176

6.5. Доказать, что уравнение ex-x-1=0, имеющее корень x=0, не имеет других действительных корней.

Решение. Пусть данное уравнение имеет еще один действительный корень х2, тогда между корнями x=0 и x2 найдется такая точка ξ , в которой f (ξ) = 0 . Обозначим левую часть

уравнения за f (x) = ex − x −1 и найдем производную f ′(x) = ex −1. Приравнивая ее нулю, получим ex=0, x=0.

Поскольку это значение х совпадает с корнем уравнения, а другой точки ξ , где бы f (ξ) = 0 нет, то данное уравнение не

имеет других действительных корней.

6.6. Многочлен f (x) = x4 − x3 + x2 − x имеет корни x=0 и x = 1. Доказать, что dfdx имеет действительный корень, при-

надлежащий интервалу [0,1].

Решение. Находим производную dfdx = 4x3 −3x2 + 2x −1.

Поскольку функция f(x) удовлетворяет на интервале [0,1] условиям теоремы Ролля, то приравниваем производную нулю 4x3 −3x2 + 2x −1 = 0 . Данное уравнение третьей степени, следовательно, имеет, по крайней мере, один действительный ко-

рень. Поскольку многочлен dfdx на концах интервала [0,1]

имеет разные знаки, а производная от него

177

вале имеет один действительный корень.

2.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Если при x → a функции ϕ(x) и ψ (x) одновременно

стремятся к нулю или ∞, то предел их отношения равен пределу отношения их производных, т. е.

При этом предполагается, что ϕ(x) и ψ (x) существуют и

конечны.

Если же отношение производных также будет представ-

лять случай 00 или ∞∞ , можно снова и снова применять прави-

ло Лопиталя. Если неопределенности типа 0 ∞ или ∞ − ∞, то сначала приводят эти функции к виду дроби, которая пред-

ставляет неопределенность 00 или ∞∞ , а затем уже пользуются

правилом Лопиталя.

Нахождение предела функции в случае неопределенно-

178

Решение. а) При x → 0 имеем неопределенность вида 00 .

Применяем правило Лопиталя:

179

∞ − ∞. Приводим к общему знаменателю и получаем неопре-

6)При x → 0 имеем неопределенность ( ∞ − ∞). приводим

кобщему знаменателю и получаем неопределенность 00 . При-

Лопиталя:

180