Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

lim(x −π)tg

x

= lim

x −π

= lim

1

= −2

2

1

x→π

x→π

ctg

x

x→π

2

−

2

sin 2

x

2

г) При x → ∞ имеем неопределенность вида 0 ∞ . При-

водим эту неопределенность к виду

0

и пользуемся правилом

0

Лопиталя:

1

1

1

−

1

sin

= lim

cos

1

=1.

lim x sin

= lim

x

x2

x

= lim cos

x→∞

x

x→∞

1

x→∞

1

x→∞

x

−

x

x2

1

7.3. Найти пределы: a)

lim(tgx)tg 2 x ; 6) lim(ln x)

x

;

π

x→∞

x→ 4

1

в) lim x x

;

r)

lim(x + 2x )

x

;

д)

lim(1 + sin 2x)ctg 5 x .

x→0

x→∞

x→0

π

имеем неопределенность 1∞ .

Решение. a) При x → 4

Прологарифмируем данную функцию y=(tgx)tg2x;

ln y = tg2x ln tgx ,

тогда

lim ln y = lim tg2x ln tgx , т. e. по-

x→π

x→π

4

4

лучим неопределенность вида ∞ 0 .

Представим эту неопределенность в виде неопределен-

ности

0

и применим правило Лопиталя

0

lim ln y = lim

ln tgx

= −lim

sin 2

2x

= −1.

tg2x

sin 2x

x→ 4

x→

4

x→ 4

π

π

1

π

Так

как

lim ln y = −1 ,

то

lim y = e−1

=

1

или

e

x→π

x→π

4

4

lim(tgx)tg 2 x =

1

.

x→π

e

4

6) Неопределенность вида ∞0 . Прологарифмируем дан-

1

1

ную функцию y = (ln x)

x

ln y =

ln ln x

и сведем неопреде-

x

ленность к виду

∞ :

lim ln y = lim ln ln x .

∞

x→∞

x→∞

x

Применим правило Лопиталя

ln ln x

1

lim

= lim

x

= 0 .

x→∞

x

x→∞ ln x

1

Так как lim ln y = 0 , то lim y =1 или

lim(ln x)

x

=1.

x→∞

x→∞

x→∞

в) Неопределенность вида 00. Прологарифмируем функ-

цию y=xx

∞ :

.

Представим

неопределенность

в

виде

∞

ln x

ln x

1

lim ln y = lim

. Применим правило lim

= lim

x

= 0 .

x→0

x→0 1

x→0

1

x→0

1

x

x

x2

Отсюда lim ln y = 0 , lim y =1 .

Итак lim x x

=1.

x→0

x→0

x

→0

1

г) Неопределенность вида ∞0 . Положим

y = (x + 2x )

x

и

прологарифмируем: ln y =

1

ln(x + 2x ) . Применяя правило Ло-

x

lim ln y = lim

ln(x + 2x )

= lim

1

+ 2x ln 2

=

x

x + 2x

x→∞

2x

x→∞

2x

x→∞

= lim

ln 2 2

= lim

ln3 2

= ln 2 ,

2x

ln2 2

x→∞ 1 + 2x ln 2

x→∞

откуда lim y

= 2 .

x→∞

д) Неопределенность вида 1∞ . Прологарифмируем функ-

цию y = (1 +sin 2x)ctg 5x .

lim ln y = lim ctg5x ln(1 +sin 2x)

и приведем неопределен-

x→0

x→0

ность к виду

0

.

0

ln(1 + sin 2x)

lim ln y = lim cos 5x

.

x→0

x→0

sin 5x

Пользуясь теоремами о пределах и правилом Лопиталя,

будем иметь

2 cos 2x

ln(1 + sin 2x)

lim ln y = lim cos 5x

= lim 1 + sin 2x

=

x→0

x→0

sin 5x

x→0

5cos 5x

=

2

lim

1

=

2

.

5

5 x→0 1 + sin 2x

2

Таким образом,

lim(1 + sin 2x)ctg 5x = e

5

.

x→0

2

y =

x2

а) y =3x -1; б) y=loga(x-1); а < 1;

в)

;

x −1

г) у = (х + 1)3(x-3); д) y = x2

x

.

Решение. а) Функция определена

для всех значений х,

т. е. область ее существования (− ∞;+∞).

Находим производ-

ную у = 3x2. Очевидно, что при любом х

y′ > 0 , следовательно,