Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

довательно, кривая выпукла вверх на всей числовой оси.

в) Находим точки х, в которых y′′ = 0 или не существует: y′ = ±3x2 , y′′ = ±6x , где знак плюс соответствует значе-

ниям x ] − ∞,1[ (x3 −1 < 0), а минус - x ]1, ∞[ (x3 −1 > 0) .

Поскольку при x = 0 вторая производная y′′ = 0 , а

при х = 1 не существует, то эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба. Знак y′′ слева и справа от точек х = 0 и

х = 1 показан на рис. 2.45. Так как y′′ при переходе через точ-

ки х = 0 и х = 1

вверх. Определяя ординаты точек перегиба y(0) = 0, у(0) = 1, строим кривую (рис. 2.46).

Рис. 2.46

216

2.13. Асимптоты кривой

10. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой

для кривой у = f(x) при x → ±∞ , если, lim [ f (x) − (kx + b)] = 0 ,

x→±∞

т. е. если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю. Параметры к и b находятся с помощью пределов

Если lim = ∞, то кривая у = f (x) при приближении х к а

x→a

будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой х = а. Прямую х = а называют вертикальной асимптотой. Как правило, это точки разрыва.

20. Если кривая задана параметрически x = ϕ(t), y =ψ (t) ,

то исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых функции ϕ(t), ψ (t) или одна из них обращается в бесконеч-

ность.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx+b, где

кривая имеет горизонтальную асимптоту у = С.

30. Если кривая задана уравнением ρ = ρ(ϕ) в полярной

системе координат, то, преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формулам x = ρ cosϕ = ρ(ϕ) cosϕ ,

y = ρ sin ϕ = ρ(ϕ) sinϕ , ее асимптоты находят по предыдущему правилу.

217

40. Если кривая задана уравнением F{x,y) = 0 (т. е. неявно), то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.

Для алгебраической кривой ∑ak i xk yi = 0 суммирование

k ,i

идет по всем целым k и i; (0 ≤ k ≤ n; 0 ≤ i ≤ n) , наклонная

асимптота у = кх +b находится подстановкой ее в уравнение кривой и приравниванием к нулю, в получившемся многочлене относительно х, коэффициентов при двух старших степенях

х.

Из решения этой системы относительно к и b находим параметры наклонной асимптоты.

Вертикальная асимптота алгебраической кривой находится из приравнивания к нулю коэффициента при старшей степени y.

13.1.Найти асимптоты кривых: а) y = x2 + 3x + 6 ;

x−1

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х + 4. График кривой и асимптоты показаны на рис. 2.47.

218