Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Сопротивление на изгиб определяется функцией y = bh2 .

Так как h2 = d 2

−b2 , то y = b(d 2 −b2 ) . Исследуем эту функ-

цию на экстремум: y = d 2 −3b2 ,

d 2 −3b2

= 0,

b =

3d

. Най-

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

′′

 

 

b

 

3

дем вторую

производную y

= −6b,

при

=

3 d,

 

y′′ = −2 3d < 0 . Поскольку у''<0, то сопротивление балки на

изгиб при b=

 

3 d будет наибольшим, высота балки при этом

 

 

3

 

 

 

 

будет h =

2 d .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

11.8. Тело движется по законy

S = 21t + 3t 2

−t 3 . Найти

его максимальную скорость.

 

 

 

 

Решение.

Обозначим скорость

v =

dS

за функцию, ко-

 

 

 

 

 

 

dt

 

торую необходимо исследовать: v = 21t +3t2 −t3 .

 

Исследуем функцию: v' = 6-6t,

при t = 1

производная

v' = 0.

Так как v'' = -6 для любого t, то при t =1 функция v имеет максимум, т. е. vmax = 24 ед.скорости.

11.9. Уравнение движения снаряда, вылетающего из ствола орудия с начальной скоростью v0 имеют вид

x = v0 cosαt,

y = v0 sinαt − gt 2 ,

2

206

где t - время, g - ускорение свободного падения, α - угол между горизонтом и направлением вылета.

Определить, под каким углом следует произвести выстрел, чтобы получить наибольшую дальность полета, если орудие стоит у подножья возвышенности, поверхность которой наклонена под углом β к горизонту (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Решение. Поскольку требуется найти наибольшую дальность полета в зависимости от α , то дальность полета х примем за функцию, а α - за независимую переменную. Для этого, исключая из уравнений движения t, запишем уравнение

траектории

y = xtgα −

gx2

 

.

2v2 cos2

α

 

 

 

 

 

0

 

 

Из условия равенства ординат в точке А прямой ОА (рис.2.39) y = xtgβ и уравнения траектории находим, что

xtgβ = xtgα −

 

gx2

или x =

 

v2

(sin 2α − 2 cos2 αtgβ) .

 

 

 

0

2v02

cos2 α

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим

производную

 

 

от

дальности

по

 

 

dx

= 2

 

v2

(cos 2α + sin 2αtgβ)

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

0

 

и

приравниваем ее

к

нулю

 

dα

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2α +sin 2αtgβ = 0 , откуда ctg2α = −tgβ, 2α = π

+ β

или

 

 

 

1

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

α

=

+ β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Находим

 

 

вторую

производную

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

207

 

d 2 x

 

v2

(−sin 2α + cos 2αtgβ) . При

 

1

π

 

 

 

= 4

0

α =

 

 

+ β вторая

 

dα 2

 

g

 

 

 

 

2

2

 

производная

d 2 x

< 0, следовательно, найденный угол α обес-

dα2

печивает наибольшую дальность полета.

11.10. Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8.

Решение. Пусть источники находятся в точках А и В, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (рис. 2.40), тогда СВ = 25 - х. Если силу света более сильного источника принять за I, то сила света другого ис-

точника будет 278 I

Рис. 2.40

Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна силе света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до источника света, то, учитывая, что выбранная точка освещается обоими источниками света, функция освещенности

в зависимости от расстояния примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

Е =

I

+

8

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 (25 − x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

′

 

I

 

16

 

I

 

 

 

 

Находим

производную

= −2 x3

+ 27 (25 − x)3

 

и

при-

 

 

равниваем ее

к нулю,

откуда (25

− x)3 −

8

x3

= 0

или

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 − x = 23 x .

208

Таким образом, наименее освещенная точка отстоит от источника А на расстоянии x = 15м.

Докажем это. Возьмем вторую производную от осве-

 

′′

 

I

 

48

 

I

 

щенности E

= 6 x4

+ 27

 

(25 − x)4 . Нетрудно заметить, что Е''

 

 

> О при x = 15, следовательно, точка С есть точка минимума функции.

11.11. Электрическая лампа висит над центром круглого стола радиуса r. На какой высоте над столом должна находится лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего освещена?

Решение. Обозначим высоту через х (рис. 2.41). Зная, что освещенность Е прямо пропорциональна косинусу угла падения и обратно пропорциональна квадрату расстояния до ис-

точника света, составим функцию: E = k

cosα

,

где

 

 

 

к =

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const.

Из

треугольника

 

SAO

 

x

находим:

R =

x2 + r 2 , cosα =

x

. Тогда

E = k

 

 

 

 

 

.

x2 + r 2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + r 2 )

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Рис. 2.41 209

книга лучше всего освещена.

Находим производную

Е′ = k

r 2

− 2x2

 

и приравниваем

 

5

 

 

 

(x2

+ r 2 )

2

 

 

ее к нулю r2 −2x2 =0, откуда х = r 22 . Чтобы выяснить, имеет ли функция при данном значении х максимум, находим знак

второй

 

производной при х =

r 2

:

E′′ = k

3x(2x2

−3r

2 )

,

 

2

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + r 2 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

2

 

< 0 - следовательно, функция имеет максимум и при

E′′

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

высоте лампочки x = r 2 2

11.12. Заводе A отстоит от железной дороги, проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом α к железной дороге надо провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов A и B была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по железной дороге?

Решение. Обозначим стоимость перевоза груза на расстояние 1км по железной дороге за т руб., тогда стоимость перевоза по шоссе будет 2т руб. За b км обозначим расстояние от B до С (рис. 2.42). Из треугольника ACD длина шоссе

AD = sinaα км. Длина железной дороги DB = b-actgα , км. Отсюда стоимость z перевозки груза с завода А в город

В равна z = sin2maα + m(b − ctgα) .

210

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27