Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

Рис. 2.42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим производную

dz

=

ma(1 − 2 cosα)

 

и приравни-

dα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 α

π

 

ваем ее к нулю 1 − 2 cosα = 0,

cosα =

1

,

α =

. Исследуем

 

3

 

 

 

 

 

π

 

 

2

 

 

 

функцию на экстремум при α =

 

 

по знаку второй производ-

ной:

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 z

 

2am(1 − cosα + cos2 α)

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

,

z′′

 

> 0.

 

 

 

 

dα 2

sin 2 α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Следовательно, функция имеет минимум и, чтобы доставка груза была наиболее дешевой, то шоссе следует прово-

дить под углом α = π3 .

11.13.Два самолета летят с одинаковой скоростью v км/ч,

водной плоскости, прямолинейно и под углом 60° друг к другу, в некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до нее на a км.

Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему оно равно?

211

Рис. 2.43

Решение. По условию, когда один самолет был в точке А, другой был в точке В, отсюда АВ = а (рис. 2.43). За время t самолеты пройдут путь, соответственно: АА1 = vt, ВВ1 = vt. Отсюда АВ1 = АB - ВВ1 = a - vt. Пусть расстояние между самолетами A1B1=S, тогда по теореме косинусов получим

 

 

S = ((vt)2 + (a − vt)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2vt(a − vt) cos120 )

2

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = (v2t 2 − 2vt + a2 )

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

 

 

 

2v

2

t − av

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производную S =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и прирав-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(v2t 2

− avt + a2 )

2

 

 

няем ее

к

 

нулю: 2v2t −av =0,

 

t =

 

a

. Вторая производная

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

••

 

2v

2

(v

2

t

2

− avt + a

2

) −

(2v

2

t

− av)

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

при t =

 

 

 

S

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

больше ну-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(v2t 2 − avt + a2 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ля, следовательно, функция имеет минимум.

Наименьшее расстояние между самолетами через t = 2av

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

a2

 

a

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

− av

 

+ a

 

 

=

 

a

 

 

2

 

 

 

будет равно S = v

 

4v

2v

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

212

 

 

 

 

 

 

11.14. Стоимость топлива для судна пропорциональна кубу его скорости. При какой скорости судна общая сумма расходов на 1км пути будет наименьшей, если при скорости 20 км/ч расходы на топливо составляют 40 руб.в час, а остальные расходы 270 руб. в час?

Решение. Обозначим стоимость топлива через q, тогда q = kv3, где к - коэффициент пропорциональности найдем из

условия 40 = k 203 , к = 0,005.

Общая стоимость плавания судна в течение часа в рублях находится по формуле Q = a + q = a + kv3 , где а = 270руб. остальные расходы. Затраты на 1км пути выразятся в виде функ-

ции u(v) = Q

= a

+ kv2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения общей наименьшей суммы расходов на

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

a

 

 

1км пути вычисляем производную u

= − v2 + 2kv и приравни-

 

ваем ее к нулю

2kv3 − a = 0 . Подставляя числовые значения,

получим

v

=

30

км/ч.

 

Вторая

производная

u′′ =

2a

540

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2k

=

 

+ 0,01

= 0,03 > 0

 

 

 

 

 

v3

27000

 

 

 

 

 

следовательно, при скорости судна v = 30 км/ч общая стоимость расходов на 1км пути будет наименьшей и составит

u= 27030 + 0,005 302 =13,5 руб.

2.12.Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

Если кривая расположена в некотором интервале ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если кривая расположена выше любой своей касательной, то она называется выпуклой вниз.

Функция у = f(x) выпукла вверх, если f ′′(x) < 0 и выпукла вниз, если f ′′(x) > 0 . Если f ′′(x0 ) = 0 в некоторой точке x0,

213

бесконечна или вовсе не существует и f ′′(x) меняет знак при

переходе через точку x0, то график функции в точке x0 имеет перегиб. Если же f ′′(x) сохраняет знак, то перегиба нет.

Чтобы исследовать кривую у = f (x) на направление вы-

пуклости, надо найти вторую производную и приравнять ее к нулю f ′′(x) = 0 . Корни этого уравнения, а также возможные

точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом из интервалов определяется знаком второй производной.

12.1. Исследовать на направление выпуклости и найти

точки

перегиба

кривой:

а)

y = 3x4 −8x3 +6x2 −9 ;

6) y = x4

− x +1.

 

 

 

Решение. а) Функция определена для любого значения х. Находим производные:

y′ =12x3 −24x2 +12x; y′′ = 36x2 −48x +12

и приравнива-

 

 

 

1

 

 

 

 

ем вторую производную к нулю (x −

1) x −

 

 

= 0 .

3

 

 

 

 

1

 

 

Корни этого уравнения x =1

и x

2

=

 

разбивают об-

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ласть определения функции на три интервала. Определяем методом интервалов (рис.2.44) знак y′′ на каждом промежутке.

Поскольку у'' при переходе через эти точки меняет знак,

то в точках x = 13 и х = 1 функция имеет перегибы. На интер-

валах ] − ∞; 13[ и ]1;∞[ кривая выпукла вниз, а на интервале ] 13 ,1 [ выпукла вверх.

214

Рис. 7.44

б) Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю: y′ = 4x3 −1; y′′ =12x2 ; 12x2 = 0; x = 0 .

При x = 0 вторая производная y′′ = 0 . Поскольку вторая

производная при переходе через точку x = 0 знака не меняет и при любом значении х положительна, то кривая на всей числовой оси направлена выпуклостью вниз.

12.2. Исследовать направление выпуклости и найти точ-

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ки перегиба кривой: а) y =1 + (x −3)

3

;

 

 

 

 

б) y = x

3

;

 

в)

y =1 −

 

x3 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) Находим:

y′ =

5

 

 

 

 

 

2

 

y′′ =

10

 

(x −3) 3

,

. Вто-

3

93 x −3

рая производная не существует в точке х = 3 и не обращается в нуль ни при каких значениях х. При переходе через точку х = 3 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка (3,1) является точкой перегиба. Поскольку при

x ] − ∞,3[

y′′ < 0 , то в этом интервале кривая выпукла вверх.

При x ]3, ∞[ y′′ > 0 , следовательно, кривая выпукла вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

−

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Найдем вторую производную: y′ =

 

x

3 ,

3

 

′′

 

2

 

−

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

93 x4 . Производная у" нигде в нуль не

y

= −

9 x

= −

 

 

 

обращается. При х = 0 вторая производная не существует. При переходе через точку х = 0 вторая производная знака не меня-

215

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27