Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
Введем в рассмотрение матрицу системы
a |
a |
11 |
12 |
A = a21 |
a22 |
|
|
|
am2 |
am1 |
и расширенную матрицу
a |
a |
|
|
11 |
12 |
a21 |
a22 |
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
am1 |
||
… a1n
… a2n
… amn
… a1n b1 |
|
|
… a2n b2 |
. |
|
… a |
b |
|
|
||
|
mn n |
|
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А системы равнялся рангу расширенной матрицы В,
т. е. r (А) = r (В).
Система называется несовместной, если она не имеет ни одного решения. В этом случае ранг матрицы А меньше ранга матрицы В.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного. Совместная система будет определенной, если ранг системы равен числу неизвестных, т. е. r(А)= n неопределенной, если ранг системы меньше числа неизвестных, т. e. r(А) < п.
Если все свободные члены равны нулю b1, b2, …, bn = 0, то система линейных уравнений называется однородной и всегда совместна.
Пусть, в общем случае, ранг совместной системы меньше числа неизвестных или числа уравнений r < (n, v, m), причем базисный минор располагается в r строках и столбцах матрицы A . Эти r неизвестных x1, ... ,xr назовем базисными неизвестными, a, хr+1,... ,хn назовем свободными неизвестными
и перенесем их в правую часть системы уравнений. Решая полученную систему уравнений (по формулам Крамера), определяем базисные неизвестные через свободные.
46
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, находим, что решений у этой системы бесконечно много.
Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и r < т, то выбираем из системы какие-нибудь r уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг r.
Решение этих r уравнений будет являться решением и остальных т – r уравнений системы.
Если же в этом случае r < п, то система имеет бесчисленное множество решений.
9.1. Исследовать систему
x1 + x2 − x3 = 5, |
|
|||||||
2x |
+ x |
+3x |
|
= 4, |
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
− 4x3 |
=11, |
||||
2x1 |
||||||||
x |
+ 2x |
+ x |
= 4, |
|
||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
16. |
2x |
+3x |
2 |
−7x |
|
= |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
1 |
1 |
−1 |
5 |
|
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
B = |
2 |
1 |
− 4 |
11 . |
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
1 |
|
||||
|
2 |
3 |
−7 |
16 |
|
|
|
||||
Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой
47
1 |
1 |
−1 |
5 |
|
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
B |
2 |
1 |
− 4 |
11 |
. |
|
|
3 |
−3 |
15 |
|
3 |
|
||||
|
4 |
4 |
− 4 |
20 |
|
|
|
||||
Разделим четвертую строку на 3, а последнюю строку
на 4
1 |
1 |
−1 |
5 |
||
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
B |
2 |
1 |
− 4 |
11 . |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
1 |
5 |
||||
|
1 |
1 |
−1 |
5 |
|
|
|
||||
Вычтем первую строку из четвертой и последней
1 |
1 |
−1 |
5 |
|
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
B |
1 |
1 |
− 2 |
6 |
. |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
Вычеркнем четвертую и пятую строки
1 |
|
1 |
|
−1 |
5 |
||
B |
2 1 |
3 4 . |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
− 2 |
6 |
|
|
|
|
|
||||
Отсюда матрица системы |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
−1 |
|
|
|
A |
2 |
|
1 |
3 |
. |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем определитель последней матрицы
48
1 |
1 |
−1 |
|
= |
|
1 |
1 |
−1 |
|
=1 ≠ 0. |
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
||
1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
Следовательно, r (А) = 3.
Ранг расширенной матрицы также равен r(B) = 3, поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, система совместна.
Для решения системы выберем, например, уравнения
x1 + x2 − x3 = 5,2x1 + x2 +3x3 = 4,x1 + 2x2 + x3 = 4.
Решая систему по формулам Крамера, находим, что x1 = 3, x2 = 1, x3 = -1. Нетрудно убедится, что третье и пятое уравнения при этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.
9.2. Исследовать систему
2x |
+ 2x |
+8x |
−3x |
+9x |
= 2, |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2x1 + 2x2 + 4x3 − x4 +3x5 = 2, |
||||||
x |
+ x + |
3x − |
2x + |
3x = |
1, |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3x |
+3x |
+5x |
− 2x |
+3x |
=1. |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Решение. Найдем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы. Для этого запишем расширенную матрицу системы
2 |
2 |
8 |
−3 |
9 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
−1 |
3 |
2 |
|
|
|
||||||
B = |
1 |
1 |
3 |
− 2 |
3 |
1 |
. |
|
|
||||||
|
3 |
3 |
5 |
− 2 |
3 |
1 |
|
|
|
||||||
Вычтем из элементов первого столбца элементы второго столбца
49
0 |
2 |
8 |
−3 |
9 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
−1 |
3 |
2 |
|
|
|
||||||
B |
0 |
1 |
3 |
− 2 |
3 |
1 |
. |
|
|
||||||
|
0 |
3 |
5 |
− 2 |
3 |
1 |
|
|
|
||||||
2 |
8 |
−3 |
9 |
|
|
|
2 |
4 |
−1 |
3 |
|
|
|
||||
Матрица А системы будет A |
1 |
3 |
− 2 |
3 |
. |
|
|
||||
|
3 |
5 |
− 2 |
3 |
|
|
|
||||
Разделим все элементы последнего столбца на 3 |
|||||
2 |
8 |
−3 |
3 |
||
|
2 |
4 |
−1 |
1 |
|
|
|
||||
A |
1 |
3 |
− 2 |
1 |
. |
|
|
||||
|
3 |
5 |
− 2 |
1 |
|
|
|
||||
Прибавим третий столбец к четвертому |
|||||
2 |
8 |
−3 |
0 |
|
|
|
2 |
4 |
−1 |
0 |
|
|
|
||||
A |
1 |
3 |
− 2 |
1 |
. |
|
|
||||
|
3 |
5 |
− 2 |
1 |
|
|
|
||||
Отнимаем из последней строки третью |
|||||
2 |
8 |
−3 |
0 |
|
|
|
2 |
4 |
−1 |
0 |
|
|
|
||||
A |
1 |
3 |
− 2 |
1 |
. |
|
|
||||
|
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
Рассмотрим определитель
M33 = (−1)7 |
|
2 |
8 |
−3 |
|
|
|
1 |
4 |
−3 |
|
|
|
1 |
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
4 |
−1 |
|
= −4 |
|
1 |
2 |
−1 |
|
= −4 |
|
1 |
1 |
−1 |
|
= 0. |
|
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|