Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
Следовательно, ранг системы r(А)=1. Вернемся к расширенной матрице, сократив на 3 предпоследний столбец
2 |
8 |
−3 |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|||||
В |
1 |
3 |
− 2 |
1 |
1 |
. |
|
|
|||||
|
3 |
5 |
− 2 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
Из первого столбца вычтем последний столбец, а из |
||||||
последней строки вычтем предпоследнюю |
|
|
||||
0 |
8 |
−3 |
3 |
2 |
|
|
|
0 |
4 |
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|||||
В |
0 |
3 |
− 2 |
1 |
1 |
. |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
После простейших преобразований получим |
|
|
||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
−1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
−1 |
|
||
|
0 |
4 |
−1 |
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В |
0 |
3 |
− 2 |
1 |
1 |
|
. |
0 |
2 |
−1 1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
Рассмотрим определитель
M 41 = (−1)5 |
0 |
0 |
1 |
=1. |
1 |
0 |
0 |
||
|
0 |
−1 |
0 |
|
Следовательно, ранг расширенной системы равен r(B) = 3.
Поскольку ранг матрицы А меньше ранга расширенной матрицы B, то система несовместна.
51
9.3. Исследовать систему уравнений
x |
−3x |
+ 2x |
= −1, |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
x1 +9x2 + 6x3 = 3, |
||||
x |
+3x |
+ 4x |
=1. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Решение. Запишем расширенную матрицу
1 |
−3 |
2 |
−1 |
|
B= 1 |
9 |
6 |
3 |
. |
|
3 |
4 |
1 |
|
1 |
|
|||
Разделим второй столбец на 3, а третий столбец на
2
1 |
−1 |
1 |
−1 |
|
B= 1 |
3 |
3 |
3 |
. |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|||
К второй строке прибавляем первую и сокращаем на 2. Далее, из последней строки вычитаем вторую
1 |
−1 1 |
−1 |
1 |
−1 1 |
−1 |
|||
B= 1 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 . |
|
1 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|||||
Отсюда видно, что ранг расширенной матрицы равен r(В) = 2. Рассмотрим теперь матрицу системы
1 −3 2 |
|
1 −1 1 |
|
|
1 |
−1 1 |
1 −1 1 |
|
||||||||
|
9 |
6 |
|
|
3 |
3 |
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
A = 1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|||||||||
|
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
Ранг матрицы системы тоже равен 2
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
, r (A)=2. |
A = |
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
52 |
|
|
|
Поскольку ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то примем за свободную неизвестную x3 и перенесем ее в правую часть
x1 −3x2 = −1 − 2x3 ,x1 +9x2 = 3 −6x3.
Решая полученную систему уравнений по формулам Крамера, определяем базисные неизвестные х1, x2 через свободную x3
|
|
|
−1 − 2x3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 − 2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = |
|
|
3 −6x3 |
9 |
|
|
= −3x |
, |
x = |
|
|
1 |
3 −6x3 |
|
|
= |
1 − x3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
12 |
3 |
|
2 |
|
|
|
12 |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Придавая свободной |
|
неизвестной произвольные |
||||||||||||||||
значения, находим, что решений у этой системы бесконечно много.
53
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Векторные и скалярные величины.
Линейные операции над векторами
1°. Основные определения. Величина называется скалярной, если она определяется заданием ее числового значения, и векторной, если для ее определения задается еще и ее направление.
Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.
Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно направлены.
Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того направлены ли они одинаково или их направления противоположны. Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.
Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-
вектором.
Нуль-вектор не имеет направления.
Вектор, модуль которого равен единице, называется
единичным вектором.
Единичный вектор, одинаково направленный с вектором aG, называется ортом вектораa .
2°. Суммой двух векторов a и b называется вектор cG ,
построенный следующим образом: перенесем начало вектора
G
b в конец вектора c и построим вектор c так, чтобы его начало совпадало с началом вектора c , а конец — с концом
вектора bG (рис. 2.1).
54
Рис. 2.1
Сумма векторов обладает свойствами сочетательности
и переместительности |
|
G |
|
||
G |
G |
G |
|
|
|
а) ( a |
+ b ) + c = a + ( b + c ), б) a + b = |
b + a . |
|||
Вектор cG |
называется разностью векторов |
G |
, если |
||
a и b |
|||||
сумма векторов |
G |
равна векторуa , т. е. b + c = a . |
|
||
b и c |
|
||||
Если два вектора приведены к общему началу, то их разность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
Свойства |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а) |
|
aG + (−b) = aG −b; б) aG −(−b) = aG +b. |
|
|
|||||||
|
|
3°. |
|
Произведением вектора a на скаляр |
λ |
называется |
|||||||
вектор |
|
|
G |
|
G |
коллинеарный вектору |
a , |
модуль которого |
|||||
b |
= λa |
||||||||||||
равен |
|
λ |
|
|
|
aG |
|
. |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если λ >0, направления векторов |
и |
совпадают; |
|||||||||
если λ <0 — направления векторов противоположны.
Свойства
а) λ(μa) = (λμ)a ; б) λa = aλ ; в) λ(aG +b) = λaG + λb .
55