Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

4°. Отношение вектора к его длине илиG модулю называется единичным вектором. Любой вектор a можно

представить с помощью единичного вектора a0 , тогоG же направления, что и вектор a , т. е. a = aG aG0 , откуда aG0 = aaG .

1.1. Даны два вектора a и b (рис. 2.3). Найти их сумму и разность.

Решение. а) Векторы a и b перпендикулярны. Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).

Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

концы.

Вектор, идущий из конца вектора - «вычитаемого» в конец вектора -«уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора CB может быть найдена по теореме

Пифагора

56

РассмотримG еще один способ нахождения разности векторов aG и b .

Поместим началоG вектора b в конец вектора aG и построим вектор - b , т. е. вектор противоположно направленG - ный. Поскольку под разностью двух векторов a и b Gпони-

мают третий вектор, равный сумме векторов a и - b , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это

векторидущийизначалавектора a вконецвектора-b (рис. 2.6).

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно,

Решение. а) Увеличиваем модуль вектора a в 3 раза, сохраняя его направление. Получаем вектор OA = 3aG(рис. 2.8)

1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике вектор, соединяющий середины диагоналей, равен геометрической полусумме двух векторов, образующих противоположные стороны четырехугольника.

Решение. Построим четырехугольник и векторизуем стороны и диагонали, как показано на рис. 2.10. Требуется

основании правила сложения векторов вектор EF равен сумме векторов EF = ED + DA + AF .

Рис. 2.10

Представим векторы EF и AF через векторы сторон четырехугольника

AF = 12 ( AB + BC ).

Подставляя найденные векторы в исходное векторное равенство, получим

требовалось доказать. Аналогично доказывается и второе векторное равенство.

58

1.4. Разложить высоту DO правильной

треугольной Gпирамиды (рис. 2.11) по некомпланарным векторам aG, b , cG .

Рис. 2.11

Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересечения высоты DO и основания является точкой пересечения медиан основания. Используя свойство точки пересечения медиан треугольника, запишем

DO = DA + AO = −AD + 23 AM .

Поскольку, AM = 12 (AB + AC) , то

DO = −AD + 13 ( AB + AC) = −aG + 13 bG + cG.

1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины сторон (рис. 2.12).

Рис. 2.12

59

JJG JJJG JJJG JJJG

Выразить векторы AC, AQ, QD, CP как линейные комбинации векторов AP = a и AN = b .

1.6. Однородный треугольник задан радиус-векторами r1, rG2 , rG3 своих вершин M1 , M2 , M3 . Найти радиус-

вектор R центра тяжести.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольника, как показано на рисунке и проведем медиану

выражения векторов M 2 N и NM через известные векторы