Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
1.8. Ранг матрицы
Если в матрице взять какие-либо k строк и столбцов и составить определитель из элементов, которые окажутся на их пересечении, то этот определитель называется минором k-го порядка данной матрицы.
Из строк и столбцов матрицы можно составить определители различных порядков, не превышающих наименьшего из чисел т или п.
Рангом r матрицы называют наибольший из порядков определителей этой матрицы, отличных от нуля.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются
эквивалентными. Эквивалентность матриц обозначается знаком между ними. Элементарными преобразованиями называются такие преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль.
Элементарные преобразования матриц позволяют:
1.Переставлять местами между собой строки
(столбцы).
2.Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.
3.Умножать строку (столбец) на число, отличное от
нуля.
4.Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних
нулей.
Элементарные преобразования позволяют получить матрицу, эквивалентную исходной, для которой легко установить ранг.
Для этого необходимо с помощью элементарных преобразований привести исходную матрицу к диагональному виду
41
a11 |
a12 |
a13 |
… a1k |
|
0 |
a22 |
a23 |
… a2k |
|
|
0 |
0 |
a33 |
… a3k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
… akk |
|
||||
…a1n
…a2n
…a3n
…amn
,
где а ij = 0 при i >j; а ij ≠ 0 при i=j.
Ранг этой матрицы равен k, так как она имеет отличный от нуля определитель k-го порядка.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.
Теорема о базисном миноре. Если матрица имеет отличный от нуля минор порядка k, а все миноры порядка k+1, содержащие данный минор (окаймляющие миноры), равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Метод окаймляющих миноров. Находим минор второго порядка отличный от нуля, если такой существует, и вычисляем окаймляющие его миноры третьего порядка, пока не найдем среди них отличного от нуля и т. д.
Если найден отличный от нуля минор порядка k, то вычисляем окаймляющие миноры k+1 порядка. Если все они равны нулю или таких миноров вообще нет (в случае, когда матрица содержит k столбцов или k строк), то ранг матрицы равен k, иначе этот процесс продолжаем.
8.1. Найти ранг матрицы
2 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
A = |
−1 . |
||||
|
5 |
2 |
11 |
1 |
|
|
|
||||
Решение. Поскольку минор второго порядка
M2 = |
2 |
1 |
= −1 ≠ 0, |
|
1 |
0 |
|
а оба окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю
42
2 |
1 |
4 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
3 |
= 0, |
1 |
0 |
−1 |
= 0, |
5 |
2 |
11 |
|
5 |
2 |
1 |
|
то ранг матрицы А равен двум, а базисным минором является,
например, M2.
8.2. Найти ранг матрицы:
2 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
3 |
−1 |
1 |
5 |
|
|||
|
1 |
7 |
5 |
−1 |
|
|||||||
|
7 4 |
− 2 |
1 |
5 |
|
|
|
|||||
а) |
|
, б) |
|
|
|
|
. |
|||||
|
4 |
2 |
−1 |
− 2 3 |
|
|
−1 |
4 |
2 |
−3 |
||
|
|
|
7 |
1 |
7 |
9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. а) Переставим первый и второй столбец местами
|
2 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
2 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
||
|
7 |
4 |
− 2 |
1 |
5 |
|
|
4 |
7 |
− 2 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
2 |
−1 |
− 2 3 |
|
|
2 |
4 |
−1 |
− 2 3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим первый столбец на 12
1 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
|
|
2 |
7 |
− 2 |
1 |
5 |
|
|
1 |
4 |
−1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
|||||
Первую строку прибавляем ко второй и третьей, умножая при этом ее на (-2) и (-1), соответственно
1 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
|
|
0 |
3 |
0 |
−15 |
3 |
|
|
0 |
2 |
0 |
−10 |
2 |
|
|
|
|||||
Умножим вторую строку на 13 , получим
43
1 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
−5 |
1 |
|
|
0 |
2 |
0 |
−10 |
2 |
|
|
|
|||||
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к третьей строке
1 |
2 |
−1 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
−5 |
|
|
|
1 |
|
||||
Отсюда видно, что ранг матрицы равен r = 2. |
|
|
||||||||||
б) Поменяем местами первую и вторую строку |
|
|||||||||||
|
3 |
−1 1 |
5 |
|
1 |
7 |
5 |
−1 |
|
|||
|
1 |
7 |
5 |
−1 |
|
|
3 |
−1 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−1 4 |
2 |
|
|
|
−1 4 |
2 |
|
|
|||
|
−3 |
|
−3 |
|
||||||||
|
7 |
1 |
7 |
9 |
|
|
7 |
1 |
7 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Умножим первую строку на 3 и вычтем из второй, затем прибавим ее к третьей, а к четвертой прибавим первую строку, умноженную на (-7)
1 |
7 |
5 |
−1 |
|
|
|
|
0 |
− 22 |
−14 |
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
11 |
7 |
− 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
− 48 |
− 28 |
16 |
|
|
|
|
|
||||
Умножим вторую строку на ( - 12 ), а четвертую на 14
|
1 |
7 |
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
11 |
7 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
11 |
7 |
− 4 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
−12 |
−7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
Поменяем местами второй и четвертый столбец
44
|
|
1 |
|
|
−1 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− 4 |
7 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
− 4 |
7 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
4 |
−7 |
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Умножим второй столбец на |
|
(- |
) |
|
и вычтем вторую |
|||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строку из третьей, а к четвертой ее прибавим |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 1 |
|
|
|
|
0 1 7 11 |
|
|
||||||||||||
|
0 1 |
|
|
7 |
11 |
|
|
|
0 0 0 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 −1 −7 |
− 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 0 0 −1 |
|
|||||||||||||||
Вычеркнем третью строку и поменяем местaми третий |
||||||||||||||||||||
и четвертый столбец |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
5 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 5 |
|
|
|
||
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 7 11 |
|
0 1 11 7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 0 |
|
|
0 0 −1 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что ранг матрицы r = 3.
1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными
a |
|
x |
+ a |
|
x |
+... + a |
x |
|
= b ; |
|||
11 |
1 |
12 |
|
2 |
|
1n n |
|
1 |
||||
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
|
= b2 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+... + a |
mn |
x |
n |
= b . |
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|