Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

т. е. λ =

7λ2 + (−5λ)2 + (2λ)2 = 5 , откуда λ = ± 56 . Поскольку

напрaвления векторов a и b совпадают, то следует взять λ >0, 56 .

Таким образом, координаты искомого вектора будут: x = 5 , y = − 25 , z = 5 .

2.6. На векторах a (3;1;4) и b (-2;7;1) построен параллелограмм.

Найти величину и направления его диагоналей. G

Решение. Из точки А отложим векторы a и b и построим параллелограмм ABCD (рис. 2.16).

Рис. 2.16

Векторизуем стороны и диагонали параллелограмма. Из

треугольника ABC диагональ
G	G	= (−2	−3)i + (7	− 4) j + (1 − 4)k = −5i + 6 j −3k .
BD = b	- a

Модуль вектора BD равен

\ BD \= (−5)2 + 62 + (−3)2 = 70 .

Направляющие косинусы определим по формулам (3)

cosα = −	5	, cos β =	6 , cosγ = −				3 .
	70		70				70
Вектор BM =	1	BD = − 2,5i +3 j −1,5 k .
Вектор BM =	2	BD = − 2,5i +3 j −1,5 k .
	2
Из треугольника ABM находим вектор							G
		G		1 G		G	G
AM :		AM = a + BM =			i	+ 4 j + 2,5k .
AM :		AM = a + BM =		2	i	+ 4 j + 2,5k .
		66

Отсюда		вектор			AC = 2AM равен AC = iG +8 Gj +5k .
Длина диагонали			АС равна \ AC \=					12 +82 +52	=	90 , а ее
направление определяется направляющими косинусами
cosα	1	= −		1	, cos β =		8	, cosγ = −	5 .
			3	10	1	3	10	3		10

2.7. Даны точки А (1,2,-1) и В (4,-3,2). Найти проекции

вектора AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение. По условию задачи направляющие косинусы равны друг другу и из условия cos2α + cos2β + cos2γ = 1

следует, что cos α = cos β = cos γ =	1	.	Вектор		AB	имеет

3
проекции AB (3, - 5 , 3). Отсюда по формуле (10) находим, что
искомая проекция на ось равна Пр AB =			3 −	5 +	3 =	3 .
l			3	3	3	3

2.8. Найти величину и направляющие равнодействующей

R трех сил F1 {14,5,4}, F2 {-6,2,7}, F3 {4,2,9} .

Решение. Находим проекции равнодействующей как сумму проекций компонентов R =12i +9 j + 20k . Величина

равнодействующей R = 144 +81 + 400 = 25 . Направление

равнодействующей определяется направляющими косинусами cosα = 1225 , cos β = 259 , cosγ = 54 .

2.9. Даны точки A(1,2,3) и B(-1,4,2). Найти длину отрезка АВ и координаты точки С, делящей отрезок в

отношении λ = 1 .

Решение. Применяя формулу (11), находим длину

отрезка dAB = (−1 −1)2 + (4 − 2)2 + (2 −3)2 = 3 .

Координаты точки С находим по формулам (13)


	1 +	1	(−1)		1			2 +	1		4		5			3 +	1		2			11
x =	1 +	3	(−1)	=	1	,	y =	2 +	3		4	=	5	,	z =	3 +	3		2	=		11	.
x =			1	=	2	,	y =					=	2	,	z =					=	4		.
			1		2				1				2				1				4
1 +								1 +								1 +
1 +			3					1 +		3						1 +		3

2.10. Отрезок АВ делится точкой С в отношении, равном 2. По данным точкам А (3,4,-1) и С (2,-3,1) найти точку

В.

Решение. Используя формулы деления отрезка в данном отношении (13), выразим координаты точки В

x =

(1 + λ)x − x1

(1 + λ) y − y1

(1 + λ)z − z1

Подставляя данные условия, получаем

x =

3 2 −3

=1,5 ,

3 (−3) − 4

= −6,5 , z

3 1 +1

= 2 .

2.3. Скалярное произведение

1°. Скалярным

произведением двух векторов aG и

называется скаляр (число), равное произведению модулей перемножамых векторов на косинус угла между ними

		aG b =	aG		cosϕ .
2°. Свойства.				b			(1)
				b			(1)

1.	Переместительность
		a b = b a .					(2)
2.	Распределительность
	( aG+ b ) c = ( a c ) + ( b c ).						(3)
3.	Скалярный множитель можно выносить за знак
скалярного произведения
	(λa b ) = λ( a b ).						(4)
4.	Скалярный	квадрат вектора				равен квадрату его
модуля		a a = a2.					(5)
		a a = a2.					(5)
5.	Скалярное	произведение				единичных векторов
определяется формулами
		68

i i = j j = k k =1, i j = j k = k i = 0 .

(6)

3°. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных проекций перемножаемых векторов

aG b = a b

+ a

+ a b .

(7)

Угол между двумя векторами

aG b

axbx + ayby + azbz

2 .

(8)

cos(a

,b) = G G =

+ a

a b

Условие перпендикулярности двух векторов

axbx +ayby +azbz = 0.

(9)

Косинус угла между двумя направлениями в пространстве равен сумме произведений одноименных направляющих косинусов этих направлений

cosϕ = cosα1 cosα2 + cos β1 cos β2 + cosγ1 cosγ2 .	(10)
Условие перпендикулярности двух направлений
cosα1 cosα2 +cos β1 cos β2 +cosγ1 cosγ2 = 0.	(11)

4°. Работа A силы F равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения

			A =	F	S	cos(F, S) .			(12)
								G	G
								G	G
G	G	3.1. Найти скалярное произведение векторов 2 a							-3 b	и
c +4 d .
		Решение. Находим (2 a -3 b ) ( c +4 d ) =
		= 2 aG cG +8aG d −3b cG −12b d .
		3.2. Дан ромб ABCD (рис. 17). Доказать, что его
диагонали пересекаются под прямым углом.
		Решение. Векторизуем стороны и диагонали ромба,
как		показано		на		рис. 2.17.	Тогда	имеем
AC = AB + BC, DB = DA + AB. Поскольку							DA = −BC ,			то
						69

DB = AB − BC . Составим	скалярное					произведение
векторов AC и DB :
AC DB =( AB + BC) ( AB − BC) = ( AB)2 −(BC)2					= 0		,так как в

ромбе все стороны равны	и	AB	=	BC		.	Поскольку

скалярное произведение векторов—диагоналей AC и DB равно нулю, то эти векторы взаимно-перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Рис. 2.17

3.3. Найти косинус угла между векторами aG = 2i −3 j +5k , b = i − j +3k .

Решение. Используя формулу (8), имеем

aG b

axbx + ayby + azbz

2 =

cos(a

,b) = G G =

+ a

a b

2 1 + (−3)(−1) +5 3

20 .

+ (−3)2 +52

12 + (−1)2 +32

418

3.4. Определить углы треугольника ABC с

вершинами A(1,1,1); B(2-1,3) и С(0,0,5).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :

AB (1,-2,2),	AC (-1,-1,4).	Угол между ними находим по
формуле (8)
cosA=	1(−1) +(−2)(−1) +2 4		=	2	,	A = 45D .
cosA=	12 +(−2)2 + 22	(−1)2 +(−1)2 + 42	=	2	,	A = 45D .
		70

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1