Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
Найдем координаты векторов BA (-1,2,-2) и BC (-2,1,2). Отсюда угол между ними
cosB = |
(−1)(−1) |
+ (−2)(−1) |
+ 2 |
4 |
= 0, |
B = 90D , |
|
+ (−2)2 |
+ 22 (−2)2 +12 + 22 |
||||||
12 |
|
|
|||||
следовательно, С = 45°.
3.5. Заданы направления l1 (45°;45°;90°) и l2 (45°;90°;45°).
Найти угол ϕ между ними.
Решение. По формуле (10) имеем
cos ϕ = cos45° cos45°+ cos45° cos90°+ cos90° cos45°.
Отсюда ϕ =60°.
3.6G. В плоскости Оху найти вектор a , перпендикулярный вектору b {3, -4,12} и имеющий с ним одинаковую длину.
Решение. Пусть вектор a = xi + yj . Из условия
перпендикулярности векторов имеем Зх - 4у=0. Длина вектора |
|||
G |
x2 + y2 . |
||
b будет b = 9 +16 +144 =13 , а длина | a | = |
|||
Следовательно, x2 + y2 =169. Поскольку |
x = |
2 |
y, , то |
|
|||
|
3 |
|
|
16 x2 + y2 =169, y = ± 39 , x = ± 52 .
9 |
5 |
5 |
||
Откуда aG |
= ± |
13 |
(4iG+3Gj) . |
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
3.7. Найти единичный вектор n , одновременно перпендикулярный вектору a {5,-4,3} и оси абсцисс.
|
|
Решение. |
Пусть вектор |
nG = xi + yj + zk . |
Поскольку он |
||||||||||||
перпендикулярен оси абсцисс, то |
n = |
n (0,y,z). Для единичного |
|||||||||||||||
вектора имеем |
|
|
|
| n | = 1 |
=> |
y2 + z2 |
= 1. |
|
Из условия |
||||||||
перпендикулярности |
векторов получим |
a n = −4 y +3z = 0 ; |
|||||||||||||||
y = |
3 |
z . Отсюда |
|
9 |
|
z2 + z2 = |
1, z = ± |
4 |
, |
y = ± |
3 |
. |
|
||||
|
16 |
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
G |
1 |
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, n = ± |
|
|
(3 j |
+ 4k ) . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Найти координаты вектора |
d = xi + yj + zk , |
если |
||
он ортогонален векторам aG = i − 2 j +3k |
и |
G |
G |
|
b = 2i |
+ 6k |
|||
скалярное произведение вектора d и |
вектора |
|
cG = i + j + 2k |
|
равно - 1 .
Решение. Условие ортогональности двух векторов заключается в равенстве нулю их скалярного произведения.
Поэтому x - 2y + 3z = 0 и 2x + 6z = 0.
Скалярное произведение вектора d и cG запишем в виде
x+y+2z=-1.
Полученные уравнения образуют неоднородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
x − 2 y +3z = 0,2x + 6z = 0,x + y + 2z = −1.
Находим определитель системы
1 − 2 3
D = 2 0 6 = −4. 1 1 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение. Воспользуемся формулами
Крамера x = DDx , y = DDy , z = DDz .
Вычислим определители Dx , Dy, Dz.
Dx = |
|
0 |
− 2 3 |
|
=12; Dy |
= |
|
1 |
0 |
3 |
|
|
= 0; Dz = |
|
1 |
− 2 |
0 |
|
|
= −4. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
6 |
|
|
2 |
0 |
6 |
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
−1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|||
Отсюда |
x = |
12 |
|
|
= −3, y = |
|
0 |
= 0, z = |
|
− 4 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 4 |
|
|
− 4 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Таким образом, вектор d |
будет d = −3i + k. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9. Найти координаты вектора d = xi + yj + zk , если
он ортогонален вектору |
aG = 2i − k , скалярное произведение |
|||||
вектора dG и вектора b = i + j + k равно 1 и проекция вектора |
||||||
G |
G |
1 |
|
|
|
|
d |
на вектор c = 3 j − 4k равна |
|
. |
|
|
|
5 |
G |
G |
||||
|
Решение. Из условия ортогональности векторов |
|||||
|
d |
и a |
||||
находим, что 2x-z = 0. Поскольку скалярное произведение |
||||||||
векторов dG и bG |
равно 1, то x-y+z = 1. Проекция вектора dG |
на |
||||||
вектор c равна |
G |
cG d |
= |
3y − 4z |
= |
1 |
. |
|
Прcd = |
G |
32 + (−4)2 |
5 |
|
||||
|
|
c |
|
|
|
|
||
Отсюда 3y - 4z = 1.
Таким образом, имеем линейную систему трех уравнений с тремя неизвестными
2x − z = 0,x − y + z =1,
3y − 4z =1.
Вычисляем определитель системы
D = |
|
2 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
−1 |
1 |
|
=1. |
|
|
|
0 |
3 |
− 4 |
|
|
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера. Найдем определители
Dx = |
|
0 |
0 −1 |
|
|
= −4; Dy = |
|
2 |
0 |
−1 |
|
= −11; Dz = |
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
= −8. |
||||||||||
|
|
1 |
3 − 4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
− 4 |
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
1 |
|
|
|
||||
x = |
D |
− 4 |
|
y = |
Dy |
|
−11 |
=11, z = |
D |
|
|
−8 |
= 8. |
|
||||||||||||||
x |
= |
|
|
|
= 4, |
|
|
|
= |
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
−1 |
D |
−1 |
D |
−1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким образом, вектор d будет d = 4i +11 j +8k .
73
|
З.10. |
Найти значение коэффициента α, при котором |
||||||||||||
векторы |
αG |
= αe + 2e |
и |
|
b = 3eG |
−eG |
будут взаимно |
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||||||
перпендикулярны, если |
|
eG |
|
|
= 1, |
|
eG |
|
= 4 и угол между векторами |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
eG и |
eG равен π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Скалярное произведение перпендикулярных
векторов равно нулю aG b = ( αe1 +2e )( 3e1 −e2 )= =3α(eG1 eG2 ) −α(e1 e2 ) + 6(e1 e2 ) − 2(e1 e2 ) = 0 .
Произведения векторов по определению скалярного произведения будут
(e1 e2 ) =1;
(eG1 eG2 ) = eG1 eG2 cos π3 =1 4 12 = 2; (e1 e2 ) = (e2 e1) ; (e2 eG2 ) =16.
Таким образом, 3α - 2 α +6 2-2 16=0, откуда α =20. 3.11. НайтиG работу, производимую силой F = {6,1,2}
на перемещении S = {2,4,1}.
Решение. Составим скалярное произведение этих векторов, тогда работаG будет равна
A= F S =6 2+1 4+2 (-1)=14 (ед.раб.)
1°. ВекторнымG произведением двух векторов aG и bG называют вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1.Модуль c численно равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b ,т. е. |
|
cG = aG b sin(aG,b). |
(1) |
2.cG перпендикуляренG к плоскости, в которой лежат векторы aG и b .
3.cG направлен так, что векторы a , b иc составляют правую тройку векторов.
Векторное произведение обозначают c = a ×b или
74
cG = [ a , bG ].
2°. Основные свойства. |
|
|||
1. |
|
G |
G |
b ≠ 0, то данное равенство |
a ×b =0, если а ≠ 0 и |
||||
выражает условие коллинеарности векторов. |
||||
2. |
G |
G |
= - ( b × a ) |
(2) |
a |
×b |
|||
3. |
Скалярный множитель можно выносить за знак |
|||
векторного произведения |
|
|||
|
G |
G |
|
(3) |
(λa |
×b )=λ( a ×b ). |
|||
4.Векторное произведение единичных векторов
определяется формулами |
Gj ×kG = iG; kG×iG = Gj |
|
iG×iG = Gj × Gj = kG×kG = 0; iG× Gj = kG; |
(4) |
5. ОбладаетG распределительностью
( aG+ b )× cG = a × c + b ×c . (5)
3°. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
|
G |
G |
|
iG |
Gj |
k |
|
(6) |
|
|
|
||||||
|
a |
×b |
= |
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
Условием |
параллельности |
векторов |
служит |
|||||
пропорциональность их одноименных проекций на координатные оси
a |
x |
= |
ay |
= |
a |
z |
. |
(7) |
|
b |
|
b |
y |
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
z |
|
||||
4°. Приложения.
1. Момент силы F , приложенный к точке В относительно точки А определяется равенством
MG = AB × FG . (8) 2. Площадь ABC равна половине площади
параллелограмма ABDC (рис. 2.18) и равна
75