Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
G G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V |
|
= |
|
|
a(b |
×c) |
|
=10. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
np |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Доказать компланарность векторов |
|
|||||||||||||||||||||
a {4,3,5}, bG |
{2,2,2}, c {-3,-2,-4} |
aG(b ×cG) = 0. Откуда |
||||||||||||||||||||
Решение. Условие компланарности |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
aG(b ×cG) = |
|
4 |
3 |
|
|
5 |
|
= 0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
− 2 |
− 4 |
|
|
|
|
||||
следовательно, векторы компланарны. |
|
|
||||||||||||||||||||
5.4. Даны векторы a |
= (-1,-1,2) и |
b = (1,-2,2). Найти |
||||||||||||||||||||
неизвестный вектор |
x |
= (x,y,z), если скалярное произведение |
||||||||||||||||||||
aG xG = -7, |
вектор |
|
c = a × x |
перпендикулярен оси Ох, а |
||||||||||||||||||
смешанное произведение x a b = 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
Используя |
условие a x = -7, |
получим |
|||||||||||||||||||
уравнение –x – y+2z = -7 |
|
|
или x + y - 2 z = 7. |
|
||||||||||||||||||
Воспользуемся векторным произведением |
|
|||||||||||||||||||||
cG= aG |
× xG= |
|
iG |
|
Gj |
|
k |
|
|
|
= −(z + 2 y)iG + (2x + z) Gj + (x − y)kG. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−1 −1 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
перпендикулярен оси Ох, то |
|||||||||||||
Поскольку |
вектор |
|
|
|
||||||||||||||||||
проекция cx вектора c |
на ось Ох равна 0, то есть cx =-(2y+z)=0. |
|||||||||||||||||||||
Из условия xG |
a b =2 имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
z |
|
= 2, т.е. 2x+4y+3z=2. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полученные уравнения объединим в систему |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + y − 2z = 7, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 y + z = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3z = 2. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2x + 4 y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение ищем по формулам Крамера. Находим определитель системы
D = |
|
1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
1 |
=12 ≠ 0. |
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
Так как определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение x = DDx , y = DDy , z = DDz .
Dx = |
|
7 1 − 2 |
|
|
= 24; Dy |
|
|
1 7 − 2 |
|
= 12; Dz |
|
|
|
1 1 7 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
1 |
|
|
= |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
= |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
= −24. |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x = |
|
24 |
|
= 2, y = |
12 |
|
=1, z = |
− 24 |
= −2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
x = {2,1, -2} . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Таким образом, неизвестный вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||
G |
G |
5.5. На векторах |
aG = 2i + j − k , b = 3i − 2 j + 4k и |
||||||||||||||||||||||||||||||
G |
построен |
параллелепипед. Найти его высоту, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
c |
= 3i |
− 4k |
|||||||||||||||||||||||||||||||
опущенную на грань, образованную векторами a и b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Объем параллелепипеда по формуле (4) будет |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
GGG |
|
|
iG |
Gj |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
V = (abc) = |
3 |
− 2 |
4 |
|
|
= |
16 +12 −6 +12 |
= 34. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
С другой стороны, объем равен V = S h, где S – |
|||||||||||||||||||||||||||||
площадь грани, образованная векторами |
a |
и |
c . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iG |
Gj |
|
k |
|
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
S = aG×cG = 2 1 −1 = − 4i |
+5 j − |
3k = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= (−4)2 +52 + (−3)2 = 5 
2.
Таким образом, H = VS = 5342 = 175 2 .
82
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка
1°. Координатой точки М на оси х называется положительное или отрицательное число, отложенное, соответственно, вправо или влево от начала координат в выбранном масштабе.
Декартова или прямоугольная система координат
представляет совокупность двух взаимно-перпендикулярных осей; оси абсцисс Ох и оси ординат Оу (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Декартовыми координатами точки М называются проекции радиус-вектора ОМ на оси координат (х, у).
Направленным отрезком на оси называется отрезок, у которого определены начало М1 (х1 ) и конец М2 (х2 ). Здесь
х1, х2 − координаты начала и конца отрезка.
2°. Величина отрезка на оси равна его длине М1М2 = М1М2 ,если направление отрезка совпадает с осью; в противном случае величина отрезка равна его длине со знаком минус М1М2 = − М2 М1 . Через координаты величина отрезка определяется по формуле
М1М2 = х2 − х1, |
(1) |
а длина или расстояние между двумя точками
83
d =М1М2 = |
|
х2 − х1 |
|
. |
(2) |
|
|
||||
Длина отрезка на плоскости (рис. 3.1), |
заданного |
||||
координатами своего начала М1 (х1, у1 )и конца М2 (х2 , у2 ), равна
d = (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 . |
(3) |
Если начало отрезка совпадает с началом координат, то формула (3) примет вид
d = x2 + y2 |
(4) |
3°. Пусть ϕ и ψ - углы, составляемые отрезком с
положительными направлениями осей координат Ох, Оу, тогда направление отрезка определится заданием косинусов этих углов
cosϕ = |
х2 − х1 |
; cosψ = |
у2 − у1 |
(х2 − х1 )2 +(у2 − у1 )2 |
(х2 − х1 )2 +(у2 − у1 )2 |
1.1. Построить на числовой оси точки А(-4), В(5), и С(1), найти величины отрезков АВ, ВС и АС на оси, длину отрезка ВС и проверить равенство АВ + ВС - АС.
Решение. На оси х в выбранном масштабе откладываем от начала координат соответственно точки А,В и С (рис .3.2). Величины отрезков находим по формуле (1)
Рис. 3.2
АВ = хВ − хА = 5 −(−4)= 9, ВС = хС − хВ =1−5 = −4, АС = хС − хА =1−(−4)= 5.
Длину отрезка ВС находим по формуле (2) d = BC = xC − xB = −4 = 4 .
84
Подставляя найденные величины отрезков на оси в доказываемое равенство, получим 9+(-4) = 5, 5 = 5.
1.2.Даны точки А(-1,-3) и В(4,2). Найти длину отрезка
иего направление.
Решение. Длину отрезка, заданного координатами своего начала и конца находим по формуле (3)
d = AB = (4 +1)2 +(2 +3)2 = 50 = 5 2.
Направляющие косинусы находим по формулам (5)
cosϕ = 54 +21 = 12 = 22 ; cosψ = 25 +23 = 22 .
Отсюда угол с положительным направлением оси Ох равен ϕ = 45D , а оси Оу равен ψ = 45D .
1.3. Найти точку, удаленную от оси Оу и от точки А(1,2) на 5 единиц.
Решение. Геометрическим местом точек удаленных от оси Оу и точки А будет прямая параллельная оси Оу и отстоящая от оси на расстоянии 5 единиц (рис. 3.3), т. е. х = 5 . Пусть точка M(5, у) искомая точка, тогда по формуле (3)
5 = (5 −1)2 +(y −2)2 , откуда 25 =16 +(y −2)2 или (y −2)2 = 9.
Рис. 3.3
85