Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

между собой A = C , член с произведением текущих координат отсутствует B = 0 и D2 + E2 > AF, то это уравнение

представляет окружность.

Координаты точек при A > 0 , лежащих внутри окружности определяются неравенством

Ax2 + Ay2 +2Dx +2Ey + F < 0,

координаты точек, лежащих вне окружности, - неравенством

Ax2 + Ay2 +2Dx +2Ey + F > 0.

Если алгебраическая линия, т. е. линия уравнение которой можно представить в виде многочлена, определяется в декартовой системе координат уравнением n − й степени относительно x и y , то она называется линией n − го порядка.

Геометрическим местом точек на плоскости называют линию, все точки которой обладают одним и тем же определенным свойством.

При составлении уравнения линии можно пользоваться следующей схемой:

1)определить линию как геометрическое место точек;

2)выбрать систему координат;

3)предположить, что некоторая точка M (x, y)

принадлежит данному геометрическому месту точек, причем точка должна иметь самое общее положение;

4)записать в геометрических символах условие, связывающее точку M с какими-либо элементами (точками), известными из определения данного геометрического места;

5)записать это условие, пользуясь формулами аналитической геометрии, по возможности, упростить.

5.1. Принадлежат ли точки A(0; 4), B (1; −2) линии

y = 3x2 −4 ? 2x −1

Решение. Если точка принадлежит данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению данной линии.

121

Подставляем в уравнение заданной линии вместо текущих координат x, y координаты точки A . Получим

обеим линиям, то ее координаты удовлетворяют каждому из этих уравнений. Это значит, что координаты точки пересечения являются решением системы

Следовательно, данные линии пересекаются в точках O (0;0) и

A(4; 4).

5.3. Даны уравнения двух линий: (x −3)2 + y2 =1 — окружности и x + y = 0 — биссектрисы второго координатного

угла. Найти точки их пересечения.

Решение. Для нахождения всех точек пересечения данных линий необходимо решить уравнения совместно.

мнимое число, то система не имеет вещественных решений и, следовательно, данные линии не пересекаются.

5.4. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек A(3;5) и B (1; −4).

Решение. Построим точки A и B (рис. 3.29).

Рис.3.29

Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных, является перпендикуляр к середине отрезка, соединяющего заданные точки. Возьмем

Возводим в квадрат обе части этого равенства и упрощаем 4x +18y −17 = 0 . Искомая линия — прямая.

5.5. Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке

A(1;1), чем к точке B (7; −2).

Решение. По условию 2AM = BM . Обозначим через

окружность с центром в точке O '(−1; 2) и радиусом, равным

2 5 .

3.6. Кривые второго порядка

1°. Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности имеет вид

окружности.

Частные случаи уравнения окружности:

1. Если b = 0; a = R , то x2 + y2 = 2Rx . Центр окружности расположен на расстоянии R по оси x (рис. 3.30).

2. Если a = 0;b = R , то x2 + y2 = 2Ry . Центр окружности расположен на расстоянии R по оси y (рис. 3.31).

3. Если a = b = 0, то x2 + y2 = R2 — каноническое

уравнение окружности. Центр окружности радиуса R в начале координат.

2°. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости,

124

где a,b — большая и малая полуоси эллипса.

параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии

εa , то есть x = ±εa .

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету

эллипса r1 = r2 =ε . d1 d2

125