Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y +1 = −	3	(x −3), 3x +4 y −5	= 0.
	4
Пусть х, у текущие координаты			точки на искомой

прямой, тогда расстояние от этой точки до прямой, проходящей через точку А, находится по формуле

d = Ax + By +C . A2 + B2

Подставляя	сюда значение			d = 3 и коэффициенты
А,В,С, находим	3 =		3x +4 y −5	или, раскрывая	модуль,

		5

15 = 3x +4 y −5 и 15 = 3x −4 y +5
Отсюда имеем 3x +4 y −20 = 0 и 3x +4 y +10 = 0.
4.6. Через			точку	пересечения	прямых
2x − y +3 = 0 и x + y −2 = 0.				провести	прямую,

перпендикулярную прямой 3x −4 y −7 = 0.

Решение. Пользуясь уравнением (9), запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных прямых

2x − y +3 +λ(x + y −2)= 0 или (2 +λ)x +(λ −1)y +3 −2λ = 0.

Угловой коэффициент пучка прямых k = −									2 +λ	, а угловой
Угловой коэффициент пучка прямых k = −									λ −1	, а угловой
									λ −1
коэффициент перпендикулярной прямой							k	= 3 .		По условию
							1	4
						2 +λ		4
перпендикулярностиk = −	1	,	откуда			2 +λ	=	3 , а λ =10
перпендикулярностиk = −		,	откуда			λ −1	=	3 , а λ =10
	k					λ −1		4
1
Подставляя найденное значение λ							в уравнение пучка,
получаем уравнение искомой прямой						12х+9 у−17 = 0 .
4.7. Даны две вершины треугольника А(-4;2) и В(2;-5) и
			8	; −2		Найти третью вершину С
точка пересечения высот М			3	; −2	.	Найти третью вершину С
			3

и расстояние ее от биссектрисы угла А.

111

Решение. По уравнению прямой, проходящей через две

точки A и В, находим	y −2	=	x +4	,	y = −	7 x −	8 .
	−5 −2
		2 +4				6	3
Используя условие			перпендикулярности (7), из

уравнения пучка прямых (8) находим уравнение перпендикуляра МС к прямой АВ, проходящего через точку М

	6		8
(рис. 3.23) y +2 =		x −		,	6x −7 y −30 = 0.
(рис. 3.23) y +2 =	7	x −	3	,	6x −7 y −30 = 0.
	7		3

Рис. 3.23

Уравнение перпендикуляра ВМ к прямой АС находим по уравнению прямой проходящей через две точки В и М


y +5	=	x −2		,	y = −	9 x −14.
−2 +5
	8		−2			2
	3

Учитывая, что прямые АС и ВМ перпендикулярны (7), из уравнения пучка прямых, проходящих через точку А, находим уравнение стороны АС

y −2 = − 2 (x +4), 2x +9 y −10 = 0.
	9
Решая совместно уравнения прямых АС и МС, находим
координаты точки C (5;0). Подставляя уравнения сторон АВ и
AC в формулу (12), находим уравнение биссектрисы угла А
7x +6 y +16	= − 2x +9 y −10 , 3x +5y +2 = 0.
49 +36	4 +81

Расстояние точки С от биссектрисы находим по формуле (11)

112

d =	3 5 +5 0 +2	=	17	=	34	.

	− 9 +25		34		2

4.8. Пересечение медиан в точке M (3;3), а x − y −2 = 0 и 7x − y −8 = 0 - уравнения двух сторон треугольника. Найти

уравнение третьей стороны.

Решение. Найдем точку пересечения известных сторон треугольника и обозначим ее за A (рис. 3.24)

		Рис. 3.24
x − y −2	= 0,	x =1, y = −1.	Точка пересечения		медиан
		x =1, y = −1.	Точка пересечения		медиан
7x − y −8 = 0,
делит их в отношении 2:1, поэтому AM : MD = 2 :1,					отсюда
λ = 2
xD = (1+λ)xM − xA =		3 3 −1 = 4, yD	= (1+λ)yM − yA = 3 3 +1 = 5.
λ		2	λ		2
Координаты точек C и B удовлетворяют уравнениям
прямых AC и AB
	7xc − yc −8 = 0, и xB − yB −2 = 0.
Точка	D делит отрезок CB пополам			xc + xB = xD =8,
yc + yB = 2 yD =10.
Решая	эти	четыре	уравнения	относительно
xC , yC , xB , yB ,	находим координаты точек C и B :
		xC = 2, yC = 6, xB = 3, yB = 4.
		113

xA =1, yA =1; xB = 32 , yB = 2.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, находим уравнение прямой BC

	y −4	=	x −6	, x +2 y −14 = 0.
	6 −4	=	2 −6	, x +2 y −14 = 0.
	6 −4		2 −6
4.9. Через точку				−3;	5	провести прямую	так,
4.9. Через точку			M	−3;		провести прямую	так,
					2

чтобы середина ее отрезка между прямыми 2x + y −3 = 0 и 2x + y −5 = 0 лежала на прямой 2x − y −1 = 0 .

Решение. Проведем параллельные прямые на плоскости Oxy (рис. 3.25) и найдем точки пересечения A, B с

третьей прямой.

Для этого решим системы уравнений

2x + y −3 = 0,2x − y −1 = 0,

2x + y −5 = 0,2x − y −1 = 0,

Поскольку середина отрезка искомой прямой между параллельными прямыми лежит на прямой AB , то из равенства треугольников ACN и BDN следует, что точка пересечения N делит прямую AB пополам. Найдем ее координаты

xN = xA +2 xB = 54 , yN = yA +2 yB = 32 .

Рис. 3.25

114

Подставляя		координаты					точек		M			и		N	уравнение
прямой, проходящей через две точки, получим
	y −		3		x −	5
			2	=		4	, 8x +34 y −61 = 0.
5		−	3	=	−3 −	5	, 8x +34 y −61 = 0.
5		−	3		−3 −	5
2			2			4
4.10. Даны уравнения двух								сторон				параллелограмма
2x + y +9 = 0 и x − y −				3 = 0 и точка				M		−	7	,	7		пересечения

											2		2
											2		2

его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.

Решение. Поскольку заданные стороны параллелограмма не параллельны, то найдем точку A их пересечения (рис. 3.26)

Рис. 3.26

2x + y +

9 = 0,

= −2, yA = −5.

− y −3 = 0,

Диагонали параллелограмма при пересечении делятся

пополам. Отсюда координаты точки C

= 2x

− x

= −2

7 +2

= −5, y

= 2 y

− y

= 2

+5 =12.

Уравнения прямых BC и CD находим из уравнения пучка прямых проходящих через точку C . Прямая BC параллельна

115

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1