Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

AD , угловой	коэффициент которой	k = −2 ,	следовательно
y −12 = 2(x +5), 2x + y −2 = 0.
Прямая	CD параллельна AB ,	угловой	коэффициент
которой k =1,	y −12 = x +5, x − y +17 = 0.

4.11. Даны две вершины треугольника A(5;1), B (1;3) и точка M (3; 4) пересечения его медиан. Составить уравнения

сторон треугольника.

Решение. Построим заданные точки (рис. 3.27). Медиана проходит через точку M и делит сторону AB пополам в точке D . Зная координаты точек A и B , находим координаты точки D

xD = xA +2 xB = 5 2+1 = 3, yD = yA +2 yB = 1+2 3 = 2.

Рис. 3.27

Рис. 3.28

Известно, что в треугольнике, точка пересечения медиан делит их в отношении 2 :1. Если обозначить за C

третью вершину треугольника, то будем иметь CMMD = 12 = λ .

Отсюда, по формулам деления отрезка в заданном отношении, имеем

xM = xC1++λλxD , yM = yC1++λλyD .

Откуда xC = (1+λ)xM −λxD = 3 3 −2 3 = 3, yC = (1+λ)yM −λyD = 3 4 −2 2 = 8 .

116

Итак, получили C (3;8). Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, находим уравнения сторон

треугольника
AB :	y −1	=	x −5		, откуда x +2 y −7 = 0 ,
	3 −1
			1−5
AC :	y −8	=		x −3		, откуда 7x +2 y −37 = 0,
	1−8			5 −3

BC :	y −8	=		x −3		, откуда 5x −2 y +1 = 0.
	3 −8			1−3

4.12.	Даны уравнения x + y −8 = 0, x − y −2 = 0 двух
медиан треугольника и							координаты одной из его вершин
A(4;6). Найти уравнения сторон треугольника.
Решение. Координаты точки A(4;6) не удовлетворяют
заданным уравнениям,						следовательно,		точка A не лежит на
медианах.
Решая систему заданных уравнений, находим
координаты точки M пересечения медиан xM = 5, yM = 3.
Проведем две медианы, отметим точку М их
пересечения и точку A (рис. 3.28).								вершины B (xB , yB )
Пусть, например,							координаты

удовлетворяют первому уравнению, т. е. медиана проходит

через вершину треугольника		B , а координаты вершины C
удовлетворяют	второму из	заданных уравнений. Тогда
xB + yB −8 = 0, xC − yC −2 = 0.
Имеем	два уравнения	с четырьмя неизвестными.

Составим еще два уравнения с теми же неизвестными. Медиана, проведенная через вершину A ,пройдет через точку

M и разделит сторону							BC	пополам в точке D . Найдем
координаты точки			D :		AM		= 2	= λ,
					MD		1
x =	xA +2xD	,	y	M	=	yA +2 yD			,

M	1+2						1+2

							117

xD =	2xM −2xA		= 3 5 −4 = 11						,
xD =			= 3 5 −4 = 11						,
	2					2		2
yD =	3yM − yA	=		3 3 −6 =				3 .
yD =	2	=		3 3 −6 =				3 .
	2				2			2
				11	;	3
Итак, имеем D				2	;	2	.
				2		2

Точка D делит BC пополам, следовательно, xD = xB +2 xC , yD = yB +2 yC ,

откуда xB + xC −11 = 0, yB + yC −3 = 0.

Составим систему

		x			+ x		=11,
				B		C
		yB + yC = 3,
							=8,
		xB + yB					=8,
		x				− y	= 2
				C		C
и найдем ее определитель
		1		1		0	0
		1		1		0	0
=		0		0		1	1	= −2
		1		0		1	0
		0	1			0	−1
Составим определитель						xB
	11				1	0	0
	11				1	0	0
xB =	3				0	1	1	= −14.
	8				0	1	0
	2		1 0 −1
Находим xB =		xB		= −14			= 7. Подставляя xB в первое из
						−2

уравнений системы, находим xC = 4. Из остальных уравнений находим, что yB =1, yC = 2 .

118

Зная координаты точек B (7;1) и C (4; 2), находим уравнения сторон треугольника


AB :	y −6	=			x −4		, откуда 5x +3y −38 = 0 ,
	1−6			7 −4

AC :	y −6		=		x −4		, откуда x = 4,
	2 −6				4 −4

BC :	y −1	=	x −7			, откуда x +3y −10 = 0.
	2 −1		4 −7

4.13.	Даны вершины A(−3; −2), B (4; −1) и C (1;3)

трапеции ABCD (AB & BC ). Известно, что диагонали трапеции

взаимно перпендикулярны.

Найти координаты вершины D .

Решение. Прямая BC & AD , следовательно, их угловые коэффициенты равны. Воспользуемся уравнением прямой,


проходящей через две точки. Отсюда уравнение прямой										BC
примет вид
	y +1		=	x −4	, 3y +4x =	13, y = − 4 x +13		,	k = − 4 .
	3 +1			1−4
						3	3		3
Для		записи			уравнения	прямой	AD	воспользуемся
уравнением		пучка			прямых, проходящих		через		точку	A и

условием параллельности BC & AD

y − yA = k (x − xA), y +2 = (x +3), 4x +3y +18 = 0.

Координаты точек A и C известны. Из уравнения прямой, проходящей через две точки находим, что уравнение прямой AC имеет вид

	y +2	=	x +3	, y =	5 x +	7 , k =	5 .
3 +2
		1+3			4	4	4
Из условия перпендикулярности диагоналей трапеции
находим угловой коэффициент диагонали BD :
	k	= − 1 ,		k = − 4 .
1			k	1	5

				119

Из уравнения пучка прямых, проходящих через точку B , находим уравнение прямой BD

y +1 = k1 (x − 4), y +1 = − 4 (x − 4), 4x +5y −11 = 0.
				5
Решая уравнения прямых BD и AD совместно,
находим координаты точки D
			4x +5y −11 = 0,

			4x +3y +18 = 0.
2 y − 29 = 0,	y =	29 ,		4x +	5 29	−11	= 0,	x = −123 .
2 y − 29 = 0,	y =	29 ,		4x +		−11	= 0,	x = −123 .
			2	2				8
	123	;	29
Ответ: D −	8	;	2	.
	8		2

3.5. Уравнение линии как геометрического места точек

Линии на плоскости соответствует уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, называется уравнением данной линии.

Всякому уравнению первой степени с двумя неизвестными на плоскости соответствует прямая линия.

Кривыми второго порядка называются кривые, уравнения которых в прямоугольных координатах представляют уравнения второй степени с двумя неизвестными

Ax2	+ 2Bxy +Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.		(1)
Существуют три типа таких кривых:
если AC − B2		> 0, кривая эллиптического типа,
если AC − B2 < 0 – гиперболического типа,
если AC − B2		< 0 - параболического типа.
Если в общем уравнении второй степени (1)
коэффициенты	при	квадратах текущих координат	равны
		120

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1