Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Диаметром эллипса a ' сопряженным с некоторым направлением, называют геометрическое место середин хорд

где k2 = tgϕ2 — угловой коэффициент хорд.

Рис. 3.33

Угловой коэффициент диаметра k1 , сопряженного хордам, связан с угловым коэффициентом хорд зависимостью

Два диаметра a ',b ' , каждый из которых делит пополам

хорды, параллельные другому, называют сопряженными между собой диаметрами. Так, оси симметрии эллипса являются его сопряженными диаметрами и их называют

главными диаметрами.

Угловые коэффициенты k2 и k1 входят в формулу (5)

равноправно, поэтому, если бы исходить из хорд с угловым коэффициентом k1 , то пришли бы к диаметру с направлением

k2 .

126

Теоремы Аполлония. 1. Сумма квадратов, построенных на двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна сумме квадратов, построенных на его осях

(a ')2 +(b ')2 = a2 +b2 .

2.Площадь параллелограмма, построенного на двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна площади прямоугольника, построенного на его осях ab = a 'b 'sinϕ .

3°. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная r2 −r1 = 2a , a −const (рис. 3.34).

Рис. 3.34

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где a — действительная полуось; b — мнимая полуось гиперболы.

Прямые, проходящие через центр симметрии, такие, что если точка M двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вершины неограниченно приближается к одной из них, называются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот

y = ± ba x .

127

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния гиперболы c к ее действительной оси,

то есть ε = ac .

Поскольку y гиперболы a < c , то эксцентриситет

гиперболы ε >1.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ox , то b2 = c2 −a2 , если же на оси Oy , то a2 = c2 −b2 .

Директрисами гиперболы называются прямые d1, d2

параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии εa . Уравнения директрис x = ±εa .

Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к ее расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету

r1 = r2 =ε . d1 d2

Фокальные радиусы r1, r2 некоторой точки M (x, y) могут быть найдены по формулам

Каждая ветвь гиперболы (9) имеет вершину с равными по абсолютной по величине координатами и удаленную от

начала координат на расстояние a = 2k .

Уравнение равносторонней гиперболы с асимптотами,

где a,b, c, d — постоянные коэффициенты.

Уравнение (10) по формулам параллельного переноса координатных осей может быть приведено к виду (9).

4°. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой ее фокусом и от данной прямой, называемой ее директрисой (рис. 3.35).

Рис. 3.35

Каноническое уравнение параболы имеет вид

y2 = 2 px , (11)

где p — параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.

Фокальный радиус любой точки параболы M (x, y)

вычисляется по формуле r = x + 2p . У параболы один фокус,

следовательно и одна директриса x = − 2p . Эксцентриситет параболы равен отношению расстояния любой ее точки от

129

фокуса к расстоянию до директрисы. На основании определения параболы имеем, что эксцентриситет любой

где a,b, c — постоянные коэффициенты.

6.1.Найти координаты центра и радиус окружности

x2 + y2 −2x +8y +13 = 0 .

Решение. Дополняя левую часть уравнения до полных квадратов, получим x2 −2x +1+ y2 +8y +16 = 4 или

(x −1)2 +(y +4)2 = 4 .

Следовательно a =1,b = −4, R = 2.

6.2. Составить уравнение окружности, проходящей через три данные точки A(1;1), B (0; 2) и C (2; −2).

Решение. Уравнение искомой окружности содержит три неизвестных параметра a,b и R , которые следует

определить.

Подставляя координаты точек A, B и C уравнение

окружности (1), получим систему трех уравнений относительно неизвестных

(1−a)2 +(1−b)2 = R2 , (0 −a)2 +(2 −b)2 = R2 , (2 −a)2 +(2 −b)2 = R2 .

Вычтем из последнего уравнения сначала первое, потом