Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
Решение. Строим чертеж (рис. 3.38) и определяем координаты вершин трапеции. Система уравнений xy = 6 ,
x + y +5 = 0 дает значения координат точек A(−3; −2); B (−2; −3). Вторая система xy = 6 , x + y −7 = 0 дает значения координат точек C (6;1) и D (1;6),
Рис. 3.38
|
Отсюда |
длина |
большего |
основания |
|
CD = |
(6 −1)2 +(1−6)2 = 5 |
2 ; |
длина меньшего |
основания |
|
AB = |
(−2 +3)2 +(−3 + 2)2 = |
2 . |
Высоту |
трапеции |
|
представляет отрезок MN биссектрисы координатного угла, заключений между основаниями трапеции. Совместное
решение уравнения y = x |
с каждым из уравнений x + y +5 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
N |
|
7 |
|
7 |
|||
определяет |
координаты |
точек |
− |
|
|
; − |
|
|
|
и |
|
|
; |
|
. |
|||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
Отсюда |
длина высоты |
MN = |
7 |
+ |
5 |
2 |
|
|
7 |
+ |
5 2 |
= 6 |
2 . |
|||||||
|
2 |
2 |
|
+ |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
площадь |
|
|
|
|
трапеции |
|
|
равна |
||||||||||
S = 5 2 + 2 |
6 2 = 36 кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.12. Преобразовать к простейшему виду уравнение y = 34xx +−53 и построить гиперболу, определяемому этим
уравнением.
Решение. Выполним преобразование заданного уравнения параллельным переносом осей по формулам x = x '+a , y = y '+b .
|
|
Преобразуем |
|
уравнение |
|
|
|
3xy +5y −4x = −3 |
|
или |
||||||||||||||||||||||||||
|
xy + 5 y − |
4 x = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x′+a)(y′+b)+ 53 (y′+b)− 34 (x′+ a)= −1, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
′ ′ |
|
′ |
|
′ |
|
+ |
|
= |
|
|
a − |
b −ab −1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x y |
+ x |
b − |
|
+ y |
a |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Условия |
|
преобразования |
|
|
|
|
требуют, |
|
чтобы |
||||||||||||||||||||||||||
b − |
4 = 0 и a + 5 |
= 0, |
|
тогда |
|
|
координаты |
|
|
|
нового |
начала |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
координат |
равны a = − |
, |
b = |
|
При |
этом |
свободный |
член |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k = |
4 |
|
|
5 |
|
|
5 4 |
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
29 |
|
|
|||||||||||
принимает значение |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
−1 = − |
|
. |
|
|||||||||||||||
3 |
3 |
|
3 3 |
|
|
3 |
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Заданное |
уравнение |
|
в |
|
|
системе |
|
|
|
′ |
|
′ |
′ |
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
′ ′ |
29 |
и |
гипербола |
располагается во II |
|
|
и |
|
IV четвертях |
|||||||||||||||||||||||||||
x y |
= − 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 3.39). Вершины гиперболы находятся на биссектрисе II и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IV координатных углов на расстоянии |
a = |
|
|
58 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
от 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
137
Рис. 3.39
6.13. Составить уравнение гиперболы, если известны точка пересечения ее асимптот O′(2; −3) и одна из вершин
A(4; −1).
Решение. Относительно системы координат с началом
вточке O′(2; −3) пересечения асимптот условию
соответствует |
уравнение гиперболы y′ = |
|
k |
. Воспользуемся |
|
x′ |
|||
формулами |
параллельного переноса |
начала координат |
||
x′ = x −2, y′ = y +3. |
Тогда уравнение гиперболы примет вид |
|||||||||||||
y +3 = |
k |
|
. Квадрат |
|
расстояния |
от |
начала координат |
до |
||||||
x − |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= (4 −2)2 +(−1+3)2 |
|
||||||
вершины А находим по формуле |
a2 |
=8, |
||||||||||||
тогда по формуле |
k = |
a2 |
находим, что k = 4. Следовательно, |
|||||||||||
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
уравнение |
|
гиперболы |
|
примет |
вид |
y +3 = |
|
или |
||||||
|
|
x −2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y= −3xx−+210 .
6.14.Написать уравнение параболы, зная, что ось симметрии ее совпадает с осью Ox , а вершина—с началом координат и расстояние от вершины до фокуса равно 5.
138
Решение. Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2 = 2 px. По условию задачи |
p |
= 5 , откуда p =10 . Уравнение |
|
2 |
|||
примет виду y2 = 20x. |
|
||
|
|
6.15. Составить уравнение параболы, если парабола симметрична относительно оси Oy , вершина совпадает с
началом координат, а фокус находится в точке F (0;3).
Решение. Поскольку парабола симметрична относительно оси Oy , то каноническое уравнение имеет вид
x2 = 2 py. По условию 2p = 3, p = 6.
Отсюда уравнение параболы x2 =12 y.
6.16. Для параболы x2 = 2 py. найти длину хорды, перпендикулярной к оси Oy и проходящей через фокус.
|
|
|
|
|
|
p |
||
Решение. Фокус параболы имеет координаты F 0; |
|
. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
p |
|
|
|
||
Пусть точка М имеет координаты M |
x; |
|
|
и принадлежит |
||||
|
||||||||
|
p |
|
2 |
|
|
|
||
параболе (рис. 3.40), тогда x2 = p |
или |
x = p. Отсюда |
||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
длина половины искомой хорды равна |
p , |
следовательно, |
||||||
длина всей хорды MN равна 2 p. |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 3.40
139
6.17. Определить координаты вершины параболы, величину параметра и уравнение оси симметрии, если
парабола задана уравнением y2 −8x −4 y +12 = 0.
Решение. Дополним левую часть уравнения до полного квадрата переменной у
y2 −4 y +4 −8x +12 −4 = 0 или (y −2)2 = 2 4(x −1).
Следовательно, вершина параболы имеет координаты xb =1, yb = 2. Параметр p = 4 , а ось симметрии параллельна
оси Ox и имеет уравнение y = 2.
6.18. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, если известно, что парабола
проходит через точки M (−3;6) и N (2; −4).
Решение. Искомое уравнение параболы примем в виде
y = ax2 +c. Подставляя координаты точек, |
будем иметь |
6 = 9a +c, −4 = 4a +c. Решая эту систему, |
находим, что |
a = 2, c = −12. Следовательно, условиям задачи удовлетворяет парабола y = 2x2 −12.
6.19. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, если известно, что парабола проходит через точки (1;2), (2;4) и (3;8).
Решение. Подставляя координаты точек в общее уравнение параболы, получим систему
a +b +c = 2,4a +2b +c = 4,
9a +3b +c =8.
Из решения системы находим, что a =1, b = −1, c = 2. Таким образом, условиям задачи удовлетворяет парабола y = x2 − x +2.
6.20. Найти координаты вершины, написать уравнение оси симметрии и построить параболу, заданную уравнением y = 5 +4x − x2 .
140