Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
Решение. Преобразуем правую часть уравнения, выделив в ней полный квадрат
y= 5 −(x2 −4x + 4)+9 −(x −2)2 . Вершина параболы находится
вточке, которая имеет наибольшую ординату, т. е. в точке
x= 2, y = 9. Отсюда уравнение оси симметрии x = 3.
Перенос начала координат в вершину при параллельном перемещении осей по формулам x = x′+2 и y = y′+9 дает
y′ = −(x′)2 .
Знак минус указывает, что ветви параболы направлены
вниз.
Помещая в системе xOy новую систему x′O′y′ с началом в точке O′(2;9), строим параболу y′ = −(x′)2 (рис. 3.41).
Рис. 3.41
6.21. Построить параболу по заданному уравнению y2 −8y −6x +4 = 0.
Решение. Первые два члена дополняем до полного квадрата, а остальные члены переносим в правую часть y2 −8y +16 = 6x −4 +16 или (y −4)2 = 6(x +2). Отсюда видно,
что вершина параболы имеет координаты (-2;4) и ось симметрии определяется уравнением y −4 = 0.
141
Переходя по |
формулам |
y = y′+4, x = x′−2 к новой |
|||||
системе координат |
′ ′ |
′ |
с началом |
′ |
(−2; 4), |
находим, что |
|
x O y |
|
O |
|||||
(y′)2 = 6x′. Таким образом, парабола имеет вид (рис. 3.42).
Рис. 3.42
6.22. Определить площадь трапеции, вписанной в параболу y = x2 −4x −12, если одно из оснований трапеции
лежит на оси Ox , а второе основание проходит через точку пересечения параболы с осью Oy .
Решение. Полагая х = 0, находим точку пересечения параболы с осью Oy , то есть A(0; −12) (рис. 3.43). Высота
трапеции AO =12 . Длины оснований определим по абсциссам точек пересечения параболы с прямыми y = 0 и y = −12.
Абсциссы концов основания DC находим из уравнения
x2 −4x −12 = 0, откуда, x = −2, x |
= 6, |
а концов основания АВ |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
из уравнения x2 −4x = 0, |
откуда x |
|
= 0, x |
= 4. Таким образом, |
|||
|
DC = 8 , а |
1 |
|
2 |
AB = 4 . Площадь |
||
верхнее основание |
|
нижнее |
|||||
трапеции равна S = |
8 +4 |
12 = 72 |
кв.ед. |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
142
Рис. 3.43
6.23. Определить область, ограниченную линиями y = x2 −1, x = 2 , и осью абсцисс.
Решение. В системе координат Oxy строим параболу
y = x2 −1 |
и прямую |
x = 2 (рис. 3.44). Координаты точки С |
||
находятся |
из |
решения системы y = x2 −1, x = 2 |
и равны |
|
C (2;3). Ось |
абсцисс |
y = 0 замыкает искомую |
область по |
|
прямой АВ.
Рис. 3.44
3.7. Преобразование декартовых координат
1°. Параллельный перенос осей. Оси двух систем координат параллельны и одинаково направлены (рис. 3.45). Координаты точки М в этих системах связаны зависимостью
x = x′+a, y = y′+b, x′ = xa y′ = yb, |
(1) |
|
|
где x, y - координаты точки М в системе Oxy; |
′ |
′ |
- |
x y |
|
||
координаты точки М в системе O′x′y′; a,b - координаты начала координат O′ системы O′x′y′ в системе Oxy .
143
Рис. 3.45
2°. Поворот осей. Обе системы координат имеют общее начало и различаются направлением осей. Если положение системы O′x′y′ определяется относительно системы Oxy
углом поворота осей α (рис. 3.46), то зависимость между координатами точки М определяется по формулам
Рис. 3.46 |
|
|
|
x = x′cosα − y′sinα, |
y = x′sinα + y′cosα, |
|
(2) |
x′ = x cosα + y sinα, |
y′ = x sinα + y cosα. |
|
|
|
|
||
|
′ ′ |
′ |
имеют |
3°. Общий случай. Если системы Oxy и O x y |
|
||
различные начала и различно направленные оси (рис. 3.47), то зависимость между координатами точки М определяется по формулам
x = x′cosα − y′sinα +a, y = x′sinα + y′cosα +b. |
(3) |
144
Рис. 3.47
Новые координаты выражаются через старые по формулам
x′ = (x −a)cosα +(y −b)sinα,
(4)
y′ = −(x −a)sinα +(y −b)cosα.
7.1. Точка М имеет координаты x = 3, y = −7. Найти ее координаты, если начало координат перенесено в точку
O′(−2;5).
Решение. По |
условию |
x = 3, y = −7, a = −2, b = 5. |
||||
Координаты |
точки |
М в |
новой |
|
системе будут |
|
x′ = x −a = 3 |
+2 = 5, y′ = y −b = −7 −5 = −12. |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
7.2. Найти координаты точки M |
|
|
; −2 2 , если оси |
|||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
координат поворачиваются на уголα = 45D.
Решение. Координаты точки М даны в системе Oxy .
Воспользуемся формулами (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
= x′ |
|
− y′ |
|
, |
−2 2 = x′ |
|
|
+ y′ |
|
. |
||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
Из решения системы находим, что x′ = − |
3 |
, y′ = − |
5 |
|
||||||||||
2 |
2 . |
|
||||||||||||
7.3. Найти |
координаты |
точки |
M (1;2) , |
|
если начало |
|||||||||
координат перенесено в точку O′(−1;1) |
и оси координат были |
|||||||||||||
повернуты на угол α = 30D .
145