Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

привести ее уравнение к виду Y = aX 2 .

Решение. Воспользуемся формулами (1). Подставив их в уравнение параболы, получим

y′+b = 2(x′+ a)2 −4(x′+ a)+9

или

y′ = 2x′2 + 4(a −1)x′+ 2a2 −4a +9 −b.

Координаты нового начала координат неизвестны. Находим их из условия равенства нулю свободного члена в новом уравнении параболы и коэффициента при x′ , то есть

Рис. 3.48

146

7.5. Составить уравнение равносторонней гиперболы, приняв ее асимптоты за оси координат.

Решение. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x2 − y2 = a2. Уравнения асимптот y = ±x. Здесь tgα = ±1, то есть α = ±45D.

Примем α = 45D (рис. 3.49). Воспользуемся формулами (2)

Рис. 3.49

Подставляя значения х,у в уравнение гиперболы,

7.6. Выполнить параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат уравнение параболы

приняло канонический вид: а) x2 −4x + y +1 = 0;

соответствует параллельному перемещению осей на две единицы по оси Ox и на три по оси Oy . В координата x′, y′,

147

Поскольку правая часть отрицательна, то ветви параболы

параллельному перемещению осей на 3 единицы по оси Ox и на 1 единицу по оси Oy (рис. 3.51). Тогда получим x′2 = 3x′ -

— каноническое уравнение параболы.

7.7.Путем преобразования системы координат

упростить уравнение окружности x2 + y2 +10x −18y +70 = 0,

принимая за новое начало центр окружности.

Решение. Подставляя формулы (1) в уравнение окружности, будем иметь

(x′+a)2 +(y′+b)2 +10(x′+a)−18(y′+b)+70 =

=x′2 +(2a +10)x′+ y′2 +(2b −18)y′+a2 +b2 +10a −18b +70 = 0.

Решение. Прежде всего воспользуемся формулами параллельного переноса координатных осей (1). Перенесем

начало координат в точку O′(a,b). После приведения

кривой исчезнут члены первой степени. Решая эти уравнения совместно, находим: a =1, b = 2.

Теперь начало координат новой системы находится в точке O′(1; 2). Уравнение кривой в новых координатах имеет

вид 8x′2 +12x′y′+3y′2 −13 = 0.

Чтобы избавится от члена, содержащего произведение координат x′, y′, произведем поворот перенесенных осей на

некоторый угол α , согласно формулам (3), тогда получим

(8cos2 α +3sin2 α +12cosα sinα)x′′2 +

+(−16sinα cosα +6sinα cosα +12cos2 α −12sin2 α)x′′y′′+

+(8sin2 α +3cos2 α −12sinα cosα)y′′2 −13 = 0.

Подберем угол ее так, чтобы коэффициент при x′′y′′

обратился в нуль −10sinα cosα +12cos2 α −12sin2 α = 0,

откуда 6tg2α +5tgα −6 = 0.

Решая полученное квадратное уравнение относительно tgα , находим: tgα = 23 и tgα = − 23. . Возьмем первое значение,

что соответствует повороту координатных осей на острый угол. Зная tgα , находим

149

Нетрудно заметить, что полученная система несовместна, следовательно данная кривая не имеет центра.

По формулам (3) повернем оси на некоторый угол α , тогда получим

150