Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

′2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

′ ′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

−

6 y +3y

 

−2x −8y +

4

 

= 3x

 

 

 

cos

 

 

α −6x y

cosα sinα +

 

 

 

 

 

 

 

+3y

′2

 

sin

2

−6(x

′2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′ ′

cos

2

 

 

 

 

′ ′

sin

2

α − y

′2

cos

2

α sinα)+

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα sinα + x y

 

α − x y

 

 

 

 

+3x

′2

sin

2

 

 

 

 

 

 

′

′

cosα sinα +3y

′2

cos

2

 

 

 

 

 

′

cosα

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α +6x y

 

 

 

 

α −2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα

+ 4

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2 y

sinα −8x

 

sinα −8y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подберем

угол

 

 

 

 

 

так,

 

 

 

 

чтобы

 

 

 

 

коэффициент

 

при

′

 

 

′

обратился

 

в

нуль:

 

 

 

 

cos

2

α

−sin

2

α = 0 ,

 

откуда

α =

π

x , y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .

Уравнение кривой в этом случае примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3y′2

 

(sin2 α +2sinα cosα +cos2 α)

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2x

′

 

 

 

 

 

+2 y

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα

sin

α

−

 

 

 

sinα −

 

 

 

 

cosα + 4

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x

 

8y

 

 

 

 

Или

 

6 y′

2

−6 y′

 

2

−5

2x′+

23

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальнейшее

упрощение

 

 

 

уравнения проводится

при

помощи параллельного перенесения осей Ox

′

 

 

 

 

 

′

 

Выделим

 

иOy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полный

 

 

квадрат

6 y′−

 

 

 

 

 

= 5

 

 

2 x′−

 

 

 

 

 

 

.

 

Введем

 

 

новые

 

 

8

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′ =

x′′+

 

 

2

, y′ = y′′

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координаты

 

 

 

 

 

 

 

+ 8

,

 

 

 

 

 

 

что

 

 

 

соответствует

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллельному перемещению осей на величину

 

 

 

 

2

 

по оси

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox

′

 

 

 

и

 

 

на

 

 

 

величину

 

 

 

 

по

 

 

 

 

оси

 

 

 

Oy

′

.

В

 

координатах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

′′

уравнение

 

 

кривой

 

примет

 

вид

 

 

 

y

′′2

=

5

2

 

x

′′

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

x , y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

каноническое уравнение параболы. Ветви параболы расположены симметрично относительно оси x′′и совпадают с положительным направлением этой оси (рис. 3.53).

151

Рис. 3.53

Вершина параболы находится в начале координат

системы x′′, y′′; параметр параболы p = 5122

3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых

1°. Полярными координатами точки М (рис. 3. 54) являются полярный радиус ρ и полярный угол ϕ , для

которых приняты

следующие интервалы изменения

ρ [0, ∞[иϕ [0, 2π[

или ϕ [−π,π[.

Рис. 3.54

Если начала координат прямоугольной и полярной системы совпадают, а полярная ось совмещена с положительным направлением оси Ox , то прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные по формулам

x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ.

(1)

152

Полярные

координаты

выражаются

через

прямоугольные по формулам

 

 

y

 

 

 

ρ =

x2 + y2 ,

ϕ = arctg

.

 

(2)

 

 

 

 

 

 

x

 

Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя

следующими формулами

 

 

 

 

 

 

sinϕ =

y

cosϕ =

 

 

x

 

 

 

 

 

.

(3)

x2 + y2

 

x2 + y2

Проекции произвольного отрезка на координатные оси

выражаются через его длину и полярный угол формулами:

 

x2 − x1 = d cosϕ, y2 − y1 = d sinϕ.

(4)

Полярный угол отрезка по координатам его конца и начала определяется по формуле

tgϕ = y2 − y1 . x2 − x1

2°. Если за полюс принять один из фокусов линии второго порядка (рис. 3.55), то уравнение линии в полярной

системе координат примет вид

 

 

 

ρ =

 

p

 

 

 

 

.

(5)

1−ε cosϕ

где ε =

ρ

- эксцентриситет,

d - расстояние точки M (ρ,ϕ) до

 

 

d

 

 

 

дирекртис, ρ - параметр

линии второго

порядка, равный

половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной фокальной оси.

Рис. 3.55

153

Если ε = 0 , то уравнению (5) соответствует окружность, если ε <1 - эллипс, если ε >1 - гипербола, если ε =1 - парабола.

Если полярную ось ориентировать в противоположную сторону, то уравнение линии второго порядка в полярной

системекоординат имеет вид

p

 

ρ =

(6)

1+ε cosϕ

3°. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых заданы в полярной системе координат.

1. ϕ = a (а - радиан) - геометрическое место точек,

полярный угол которых имеет постоянныю величину, есть луч, выходящий из полюса полярной системы координат (рис. 3.56).

Рис. 3.56

2. ρ = a - окружность с центром в полюсе и с радиусом,

равным а.

3. ρ = 2a cosϕ - окружность, центр которой находится на полярной оси в точке C (a, 0) и радиус которой равен а

(рис. 3.57).

Рис. 3.57

154

4. ρ = aϕ (a −const ) - спираль Архимеда (рис. 3.58).

 

a

 

Рис. 3.58

5. ρ =

(const ) -

гиперболическая спираль ϕ ≠ 0

 

ϕ

 

 

(рис. 3.59). Здесь ρ ≠ 0

и полюс называют поэтому

асимптотической точкой кривой, т. е. такой точкой, к которой точки кривой неограничено приближаются, но никогда ее не достигают.

Рис. 3.59

6. ρ = aϕ (a > 0) - логарифмическая спираль (рис. 3.60)

Рис. 3.60

Логарифмическая спираль с любой прямой, проведенной через полюс образует один и тот же угол θ .

155

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1