Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
x2 |
− |
y2 |
=1. |
(9) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Направляющей является гипербола.
Рис. 4.10 |
|
3. Параболический цилиндр (рис. 4.11) |
|
y2 = 2 px. |
(10) |
Рис. 4.11
Направляющей является парабола.
Аналогично записываются уравнения цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными координатным осям Ox и Oy.
186
7°. Поверхность, образованная движением прямой, проходящей через неподвижную точку пространства и пересекающей при этом некоторую кривую, называется
конической поверхностью.
Неподвижная точка называется вершиной, кривая —
направляющей и прямая - образующей конической поверхности.
Каноническое уравнение конуса, когда ось симметрии конуса совпадает с осью Oz (рис. 4.12), имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0 . |
(11) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
Рис. 4.12
Если a = b ≠ c — конус |
круговой; если a = b = c , |
то x2 + y2 − z2 = 0 — прямой |
круговой конус, образующие |
наклонены к плоскости xOy под углом 45°. |
|
5.1. По заданному уравнению f (x, y, z)= 0 определить
вид поверхности и указать ее расположение в координатной системе:
а) x2 + y2 + z2 −2x +4 y −6z +5 = 0; б) 4x2 +4 y2 +5z2 −20 = 0;
в) 5x2 +5y2 −4z2 −20 = 0; г) 4x2 + y2 −2z = 0; д) x2 + z2 − y = 0;
ж) y2 −4z −5 = 0; з) y2 −8x +3 = 0. 187
|
Решение. а) Дополним до полных квадратов многочлен |
|||||||||||||||||||||||
в левой части |
x2 −2x +1+ y2 +4 y +4 + z2 −6z +9 −9 = 0 |
или |
||||||||||||||||||||||
(x −1)2 +(y +2)2 +(z −3)2 = 32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Полагая |
x ' = x −1; y ' = y +1; |
z ' = z −3, |
|
находим, |
что в |
||||||||||||||||||
системе координат x ', |
y ', z ', смещенной относительно системы |
|||||||||||||||||||||||
x, y, z |
параллельным |
переносом |
в |
|
точку |
с |
координатами |
|||||||||||||||||
x0 =1; |
y0 |
= −1 ; |
z0 |
= 3, |
данная поверхность имеет простейшее |
|||||||||||||||||||
уравнение |
вида |
x '2 + y '2 + z '2 |
= 32 . |
|
Таким |
образом, данное |
||||||||||||||||||
уравнение определяет сферу с центром в точке |
O '(1, −2,3) |
и |
||||||||||||||||||||||
радиусом равным R = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
Перенесем |
свободный |
член |
в |
правую часть |
и |
|||||||||||||||||
разделим на него, тогда будем иметь |
x |
2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1. |
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Данное уравнение представляет эллипсоид вращения |
|||||||||||||||||||||||
вокруг оси z с полуосями a = b = |
5; c = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) Пернесем свободный член в правую часть и разделим |
|||||||||||||||||||||||
на него, тогда будем иметь |
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
|
z2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Данное |
уравнение |
|
|
представляет |
|
|
однополостный |
||||||||||||||||
гиперболоид вращения (4) вокруг оси z . |
|
|
|
z , |
тогда будем |
|||||||||||||||||||
иметь |
г) Разрешим выражение относительно |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x2 + y2 . 1 2
2
Данное уравнение представляет эллиптический параболоид (5).
д) Разрешим выражение относительно у, тогда получим y = x2 + z2 .Нетрудно заметить, что это уравнение предствляет параболоид вращения с осью вращения у (рис. 4.13).
188
Рис. 4.13
ж) Поскольку переменная x отсутствует, то уравнение z = 14 y2 − 54 представляет параболический цилиндр с
образующими параллельными оси x (рис. 4.14). Сечение параболического цилиндра с плоскостью Oyz образует
параболу, вершина которой находится в точке с координатой z = − 54 .
|
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
|
з) |
Поскольку переменная |
z отсутствет, то |
выражение |
||
x = |
1 y2 + |
3 |
представляет |
параболический |
цилиндр, |
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
образующие которого параллельны оси z (рис. 4.15). Сечение параболического цилиндра с плоскостью Oxy образуют
189
параболу, вершина которой находится в точке с координатой x = 83 .
Рис. 4.15
5.2. Установить поверхность, определяемую уравнением:
а) 4x2 +9 y2 +16z2 −16x +36 y +32z +59 = 0; б) x2 −4 y2 +4z2 +2x +8y −7 = 0 ;
в) x2 −16 y2 −4z2 −10x −64 y +24z −48 = 0 ; г) 5x2 +2 y +3z2 −9 = 0 .
Решение. а) Поскольку уравнение не содержит произведений координат, то приведение его к простейшему виду осуществляется посредством параллельного переноса. Вьщелим полные квадраты
4x2 +9x2 +16x +36 y +32z +59 =
=4(x2 −4x +4)+9(y2 + 4 y + 4)+16(z2 + 2z +1)−9 =
=4(x −2)2 +9(y +2)2 +16(z +1)2 −9
Полагая x ' = x −2, |
y ' = y +2, z ' = z +1, находим, что в |
системе координат x ', |
y ', z ' смещенной относительно системы |
x, y, z паралельным переносом начала в точку с координатами a = 2, b = −2, c = −1 данная поверхность имеет простейшее уравнение вида
190