Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

относительно системы x, y, z параллельным переносом начала в точку O '(-1,1,0)

(x ')2 −4(y ')2 +4(z ')2 = 4 или (x2'2)2 −(y ')2 +(z ')2 =1.

Поскольку в этом уравнении коэффициенты при (x ')2 и

(z ')2 положительные, а при (y ')2 — отрицательный, то данное

уравнение определяет однополостный гиперболоид (3), расположенный вдоль оси y ' .

в) Преобразуя левую часть до полных квадратов,

смещенной относительно системы x, y, z параллельным переносом начала координат в точку (5,-2,3)

(x ')2 −16(y ')2 −4(z ')2 = 0.

Поскольку в этом уравнении свободный член равен нулю и коэффициенты при квадратах координат разных знаков, то данное уравнение определяет конус второго порядка (11) с осью вдоль оси x ' и вершиной в точке (5, -2,3).

191

г) Данное уравнение содержит две координаты во второй степении одну в первой, следовательно, уравнение определяет эллиптический парболоид (5). Переписывая его в

виде 5x2 +3z2 = −2(y −92), заключаем, что вершина параболоида расположена в точке с координатами O '(0,92, 0) и его полость обращена в сторону отрицательных значений y . Если обозначить x ' = x, y ' = y −92, z ' = z, то получим каноническое уравнение параболоида (рис. 4.16)

(x2')2 + (zx2 )2 = −y '.

5 3

Рис. 4.16

4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве

1°. Рассмотрим уравнение с тремя неизвестными

F (x, y, z)= 0.

Предположим, что уравнение может быть разрешено относительно z , то есть z = f (x, y). Данное уравнение в

пространстве представляет поверхность и называется

уравнением поверхности.

Если поверхность определена геометрически, т. е. задано некоторое свойство, принадлежащее всем ее точкам и не принадлежащее другим точкам пространства, то можно

192

составить уравнение этой поверхности. Заданное геометрическое свойство, выраженное уравнением, связывающим текущие координаты, и будет уравнением поверхности.

2°. Всякую линию в пространстве можно расматривать как пересечение двух поверхностей F (x, y, z)= 0 и

Ф(x, y, z)= 0 . То есть, линия в простванстве рассматривается

как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе этих уравнений.

6.1.Найти геометрическое место точек,

равноудаленных от двух данных точек M (2,1, −1) и

N (−3, 0,3)

Решение. Пусть точка P(x, y, z) будет текущей точкой

искомого геометрического места точек. Тогда, по формуле (11. Гл.2.2) данное условие примет вид

(x −2)2 +(y −1)2 +(z +1)2 = (x +3)2 +(y −0)2 +(z −3)2 .

Упрощая, получим уравнение геометрического места точек 5x + y - 4z +6 = 0 , Полученное уравнение изображает

плоскость, перпендиклярную отрезку MN и пересекающую его посередине.

6.2. Найти геометрическое место точек, удаленных на расстояние 5 единиц от точкиC(1,-2,1).

Решение. Пусть точка M (x, y, z) есть текущая точка

представляет сферическую поверхность с центром в точке C и радиусом R = 5 .

6.3. Каков геометрический смысл системы уравнений

193

Решение. Первое уравнение есть сфера, второе представляет в пространстве плоскость. Подставляя z = 3 в

первое уравнение, получим x2 + y2 =16 . То есть пересечение

плоскости со сферой есть окружность, параллельная плоскости Oxy , с центром в точке C(0,0,3) и радиусом равным 4.

6.4.Найти проекцию линии пересечения конуса

x2 + y2 −3z2 = 0 (z ≥ 0) и сферы (x −1)2 + y2 + z2 =1

на координатную плоскостьOxy .

Решение. Находим уравнение проектирующего цилиндра.

Для этого исключаем из уравнений поверхностей переменную z . Умножая второе уравнение на 3 и складывая с первым, получим

4x2 −6x +4 y2 = 0 .

Таким образом, проекция линии на плоскость Oxy

6.5. Тело в пространстве задано системой неравенств. Определить вид поверхностей, ограничивающих это тело. Указать по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности:

а) x2 + y2 < (z −2)2 , x2 + y2 ≤ z ; 194

ограничивает тело внутри конуса.

Уравнениеx2 + y2 = z задает в пространстве параболоид, а неравенствоx2 + y2 ≤ z показывает, что поверхность

ограничивает тело внутри параболоида. Объединяя результаты, мы получим, что тело, ограниченное заданными поверхностями, имеет вид (рис. 4.17).

Рис. 4.17

Решая совместно уравнения поверхностей x2 + y2 = z и x2 + y2 = (z −2)2 , находим, чтоz =1, то есть поверхности пересекаются по окружности x2 + y2 =1 в плоскости z =1.

б) Уравнение x2 + y2 + z2 = 25 задает сферу с центром в

сферы.

Уравнение x2 + y2 = 9 задает цилиндрическую поверхность с осью Oz и радиусом 3. Неравенство x2 + y2 ≤ 9 показывает, что ограничивает тело внутри цилиндра. Таким образом, тело,

195