Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

ограниченное заданными поверхностями, имеет вид (рис. 4.18).

Очевидно, что линиями пересечения поверхностей будут окружности того же радиуса, что и направляющая цилиндра. Теперь определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности.

Для этого из системы уравнений исключим x и y .

Рис. 4.18

в) Уравнение x2 + y2 − z2 ≥ 9 задет в пространстве

однополостный гиперболоид с осью вращения Oz и радиусом окружности в плоскости Oxy равным 3. Неравенство

показывает, что тело находится внутри цилиндра. Таким образом, тело находится между однополостным гиперболоидом и цилиндром (рис. 4.19).

Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности.

196

Исключая x, y из системы уравнений x2 + y2 −9 = z2 ,

Рис. 4.19

4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых

1°. Уравнения вида

где t — параметр, называются параметрическими уравнениями линии в пространстве.

Исключая из двух любых пар уравнений (1) параметр t, можно получить уравнение линии в виде двух уранении с тремя переменными.

2°. Цилиндрической винтовой линией называется линия, которую описывает точка M , движущаяся по поверхности кругового цилиндра радиуса R , обходя его кругом и одновременно поднимаясь вверх пропорионально углу, описываемому ее проекцией на горизонтальную плоскость (рис. 4.20).

Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

197

Если k > 0 , то уравнения (2) называют уравнениями правой винтовой линии, если же k < 0 эти уравнения представляют левую винтовую линию.

Когда точка M совершит полный оборот, апликата z точки M увеличится на величину, называемую шагом или ходом винтовой линии, равным l = 2πRtgα .

Рис. 4.20

7.1. Определить линию, заданную уравнениями x = (t −1)2 , y = 3(t +1) и z = −(t +2).

Решение. Исключая из второго и третьего уравнения параметр t , получим y +3z +3 = 0 — уравнение плоскости.

Находя из второго t и подставляя в первое уравнение, будем иметь 9x = (y −2)2 — параболический цилиндр.

Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости с параболическим цилиндром.

7.2. Определить линию, заданную уравнениями: x = 3cos t , y = 4cos t , z = 5sin t

Решение. Деля первое уравнение на второе, получим 4x −3y = 0 — уравнение плоскости.

Возводя в квадрат левые и правые части каждого из трех уравнений и складывая, получим x2 + y2 + z2 = 25 —

уравнение сферы.

Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости со сферой.

198

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГОРАСЧЕТА Вариант 1

1.Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить

внутренние углы трапеции.

5.Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

6.Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости6x −5y + 7z −10 = 0 .

плоскости 4x +3y − z +3 = 0 .

Вариант 2

1.Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

2.Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату

и x + 2y +5 = 0 (BC) . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.

5. Плоскость α проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0)

перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

6.Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость,

параллельную плоскости 2x −3y +5z − 4 = 0 . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".

200