Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

расстояние р от начала координат до неё равно 8

единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; 3 2 ) до построенной плоскости.

6.Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью α, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью α и плоскостью XОY.

7.Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в

плоскостях

2x + 4y −6z +13 = 0, 9x −3y + z − 4 = 0, x + 4y +3z −5 = 0

11.Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.

Вариант 7

1.Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

2.Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.

3.Известны уравнения сторон треугольника: x +3y −3 = 0,

206

3x + y +11 = 0, x − y −3 = 0 . Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.

4.Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3;

4)и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.

плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -

1) параллельно вектору a ={0; -1; 2}.

7.Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (- 4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

перпендикулярны?

11.Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; - 1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что

ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.

Вариант 8

1.Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.

207

2.Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой ax + by =1 к оси ОX равен 30° ?

перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?

4.Определить острый угол, под которым пересекаются

прямые АВ и СD, если А (2; 4), В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).

5.Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x − y − 4z +5 = 0 и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на

расстоянии 21 .

6.Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью

XOZ.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А

(0; 2; 0), В ( 12 ; 0; 1) и С ( − 14 ; −1; 1).

9.Составить уравнения прямой, проходящей через точки

взаимно перпендикулярны? При m = 1найти угол между ними.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую x −5 4 = y 2+3 = 1z .

Вариант 9

1.Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.

2.Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.

3.Найти прямую, проходящую через точку пересечения

4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4;

1)и образующей угол α = arctg 1621 с прямой 5x − 4y =15 .

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей

3x + y − 4z + 6 = 0, 2x − y +3z −9 = 0, x + 2y + 2z −3 = 0 до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору N = {2; 1; − 2}.

6.Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1;

4)и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.

7.Плоскость α проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает

на осях координат равные отрезки. Плоскость β задана уравнением, mx +3y − 4z +1 = 0 . При каком значении m

плоскости α и β будут перпендикулярны?

8. Написать канонические уравнения

прямой: 3x + 4y − 2z +1 = 0,2x − 4y +3z + 4 = 0

9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5).

209

Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями

AC и BD.

x + 2y + z −1 = 0,

10. При каких значениях В и С прямая 3x − y + 4z − 29 = 0

перпендикулярна плоскости 5x + By +Cz + 2 = 0 ?

лежит в плоскости Ax −5y +Cz + 6 = 0 ?

Вариант 10

1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; 53 ), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

2.Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

3.Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; - 1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?

x + 4y +3 = 0 и 5y + 7 = 0 .

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

→

А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору BC , где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.

6.При каком значении m угол между плоскостями α и β

равен π3 ? Плоскость α проходит через точки А

210