Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2		4
4.1. Дана матрица А =	3	6	. Найти Аm и (Аm)m.
	5	1
	5	1

Решение. Меняя строки на столбцы, получим

m	2		3	5
А	=
		4	6	1
		4	6	1

Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим

	2		4
(Am )m		3	6
	=
		5	1

т. е. исходную матрицу A.

						5		2			3
4.2. Даны матрицы						А =	7	6 ,		B=		1
							5	6				2
							5	6				2
Найти (А+В)m					и Аm + В m
Решение.
			5	2				5	7	5
А + В =			7 6					5	7	5	,
А + В =			7 6		, (А + В)m=						,
								2	6
			5	6				2	6	6
			5	6
А	m	2 6 3			m	3 1 2				,
А		=			, B =					,

отсюда		3 4 1				−1 2 5
отсюда			5	7	5
A	m	m	5	7	5
A		+B =			.
				6
			2	6	6
4.3. Даны матрицы						1		−1		, B=	2
4.3. Даны матрицы						А =				, B=
								3
						2		3			−1

Доказать, что (АВ)m = В mАm.

Решение. Находим,	3		2	− 2
Решение. Находим,	АВ =				.
		1	14	11
		1	14	11
	31

−1

2 .

4 1 .

2 3

					3	1
Отсюда (АВ)m=					2	14 .
					− 2
					− 2	11
				1		2			2		−1
Находим			m	1		2	m	=		4	12	, отсюда
Находим			A =			и	B	=		4	12	, отсюда

				−1		3				1	3
										1	3
	3	−1
В mАm=	2 14 .
	− 2	11
	− 2	11

Что и требовалось доказать.

1.5. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице А называется такая квадратная матрица,

обозначаемая А-1, которая удовлетворяет равенствам

АА-1 = Е и А -1А = Е.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А-1 , необходимо и достаточно чтобы

матрица А была неособенной (det								А ≠ 0),	тогда обратная
матрица определяется формулой									m
					A11		A12	… A1n	m
							A22	… A2n
A	−1	=	1		A21		A22	… A2n

			det
			det	A
						A	A	… A
						n1	n2	nn

или

					A11	A21	… An1
A	−1	=	1		A12	A22	… An2
								.
			det	A				.
			det	A
					A	A	… A
					1n	2n	nn

Таким образом, для получения обратной матрицы А-1 следует все элементы матрицы А заменить их алгебраическими дополнениями, полученную матрицу транспонировать и разделить на det A.

Свойства: 1. Не существует двух различных обратных матриц для данной матрицы А.

2. Определители прямой и обратной матрицы взаимнообратны

-1		1
det А	=		.
		det A

3.Обращение обратной матрицы дает исходную матрицу (А-1)-1.

4.Обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратной последовательности

(АВ)-1 =В -1 А -1 , detA ≠ 0; detB ≠ 0.

5.Операция обращения не изменяет единичной матрицы E-1 = E.

6.Транспонирование и обращение матрицы не зависит от последовательности этих операций (Am)-1=(A-1)m.

					4	−5	. Найти А-1.
	5.1. Дана матрица А =						. Найти А-1.
					− 2	1
					− 2	1
	Решение. Находим определитель
det A =		4	−5	=14 ≠ 0 и алгебраические дополнения
det A =		4	−5	=14 ≠ 0 и алгебраические дополнения
		2	1

A11=(-1)2 1=1; A12=(-1)3 2=-2; A21=(-1)3 5=5; A22=(-1)4 4=4.

Отсюда A−1			1		1	− 2 m					1		1		5
	=		1						=		1					.
	=								=							.
		14									14		− 2 4
		14			5 4						14		− 2 4
							1		4		−3
5.2. Дана матрица А =								5	2			5 , найти A-1.
								3	1
								3	1			2
Решение. Находим detA=										1	4		−3		.
										1	4		−3
										5	2		5
										3	1		2
Поскольку	detA ≠ 0, то А-1 существует
					1		A			A			A
А	-1	=			1		11		21				31
							A12			A22			A32	.
				det A			A12			A22			A32	.
				det A			A			A			A
							13		23				33

Находим алгебраические дополнения


A11= (-1)2		2	5	=-1; A12=(-1)3		5	5		=5; A13=(-1)4			5	2	=-1;
A11= (-1)2		1	2	=-1; A12=(-1)3		3	2		=5; A13=(-1)4			3	1	=-1;
A21=(-1)3	4		−3		=-11; A22=(-1)4			1	−3		=11; A23=(-1)5				1		4	=11;
	4		−3					1	−3						1		4
	1		2					3	2						3		1
A31=(-1)4	4		−3		=26; A32=(-1)5		1		−3	=-20; A33=(-1)6						1	4		=-18.
	4		−3				1		−3							1	4
	2		5				5		5							5	2

				1	−1		−11	26
		−1
Отсюда	A		=			5	11	− 20	.
				22
						−1	11	−18

2		−3	,	1		−0
5.3. Даны две матрицы А =			,	B=			.
	−1	1			4	−3
	−1	1			4	−3

Доказать, что: а) (АВ)-1 = В -1А -1; б) (A m )-1=(A-1)m.

Решение. а) Находим произведение матриц

14	−9															1				−3	9
АВ =			; det (AB) = -l5; (АВ)-1= −													1							; detA=5;
АВ =			; det (AB) = -l5; (АВ)-1= −																				; detA=5;
	−3															15				−3 14
3	−3															15				−3 14
detB=-3.
Находим обратные матрицы
A−1 =		1	1		−3				, B−1 = −	1		−3			0	,
		1								1

	5								3
	5		1 2						3			− 4 1
						1			−3 0 1			−3				1				−3 9
отсюда B−1 A−1 = −						1								= −		1						.
отсюда B−1 A−1 = −														= −								.
						15										15
						15			− 4 1 1 2							15				−3 14
Что и требовалось доказать,
б) Транспонируем матрицу A;
T	2			−1								T	−1			1	1 1
A	=						;		det A = 5;		( A )				=						.
A	=						;		det A = 5;		( A )				=						.
				1												5			−3
	3			1												5			−3		2
Находим обратную матрицу A−1																		1		1	−3		,
																=		1
																=
																	5				2
																	5			1	2
				1				1	1
отсюда (A−1)T			=	1					.
отсюда (A−1)T			=						.
				5				−3
				5				−3	2

Что и требовалось доказать.

1.6. Матричный метод решения системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

a			x	+ a		x	+... + a		x	= b ;
	11		1	12		2	1n		n	1
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn										= b2	;


a		n1	x	+ a		x	+... + a		x	= b .
		n1	1		n2 2			nn n		n

Если ввести матричные обозначения

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1