Документ: Приближенные методы-Буханько АА, страницы 31-35

Записываем полученные значения ui1 ( i 1, 2,3, 4,5,6,7 ) во вторую строку

табл. 2.1. Переходим к вычислению значений на втором слое по формуле

(2.10) при j 1 :

u	ui 1,1 ui 1,1	.
i,2	2
	2

Подобным образом определяем последовательно значения uij при t 0,0039;

0,0078; 0,0117 и т.д.

Таблица 2.1 – Результаты вычислений для примера 2.1

i

j t j

xi

00,0

10,0039

20,0078

30,0117

40,0156

50,0195

60,0234

70,0273

80,0312

u(x;0, 0312)

u u

0	1	2	3	4	5	6	7	8

0,0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0

0	4,9749	9,1924	12,0104	13,0	12,0104	9,1924	4,9749	0
0	4,5962	8,4927	11,0962	12,0104	11,0962	8,4927	4,5962	0
0	4,2464	7,8462	10,2516	11,0962	10,2516	7,8462	4,2464	0
0	3,9231	7,2490	9,4712	10,2516	9,4712	7,2490	3,9231	0
0	3,6245	6,6972	8,7503	9,4712	8,7503	6,6972	3,6245	0
0	3,3486	6,1874	8,0842	8,7503	8,0842	6,1874	3,3486	0
0	3,0937	5,7164	7,4689	8,0842	7,4689	5,7164	3,0937	0
0	2,8582	5,2813	6,9003	7,4689	6,9003	5,2813	2,8582	0
0	2,6407	4,8793	6,3751	6,9003	6,3751	4,8793	2,6407	0
0	2,6873	4,9655	6,4877	7,0223	6,4877	4,9655	2,6873	0

0	0,0466	0,0862	0,1126	0,1220	0,1126	0,0862	0,0466	0

Аналитическое решение данной задачи определяется согласно приложению I формулой

u

x,t

e

2

2nt

B sin

n

x ,

n

2

n 1

2

n

где

B

13sin

x sin

xdx

0 при n

1 :

n

2 0

2

B

13

2 sin2

xdx

13 2

1

cos

x dx

13

x

1

sin x

2

13 .

1

2

2 0

2

0

Получаем u

x, t

13e 2 2t sin

x

- точное решение данной задачи.

2

В последних двух строках табл. 2.1 приведены значения точного решения

задачи и

модуля

разности

u

при

t

0,0312 . Для

данной задачи

31

(t)	(t) 0 , f IV x		13	4 sin		x ,	следовательно M		13 4	и оценка
								1
			16		2				16


погрешности приближенного решения будет
		u	u	0, 0312 13			4 a2 h2 0, 4116 .
				0, 0312 13

				3		16
				3		16

2.2 Метод сеток для уравнений гиперболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения свободных колебаний од-

нородной струны [5]: найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

2u	a2	2u	,	(2.14)
t2		x2

начальным условиям

u(x, 0)	f (x),		u(x, 0)

				t

и краевым условиям
u(0,t)		(t),		u(s,t)
Как и для уравнения параболического
0 x s прямоугольную сетку
xi	ih (i	0,1,		, n), t j

x	(0	x s)	(2.15)
(t) (t		0) .	(2.16)
типа,		построив в полосе	t 0 ,
jl	( j	0,1, 2, ) ,

заменяем производные в уравнении (2.14) разностными отношениями (2.3):

ui, j 1

2u ij

ui, j 1

a2

ui 1, j

2u ij

ui 1, j

.

l2

h2

Обозначив

al

, получим разностное уравнение

h

u

2u

u

2

u

2u

ij

u

i 1, j

,

(2.17)

i, j 1

ij

i, j 1

i 1, j

которое является устойчивым при

1

[1]. В частности, при

1 уравне-

ние (2.17) принимает наиболее простой вид:

ui, j

1 ui 1, j

ui 1, j

ui, j 1 .

(2.18)

Оценка погрешности приближенного решения, полученного из уравнения

(2.17) в полосе 0 x s , 0

t

T , имеет вид

u u

h2

M

h 2M

3

T T

2 M

4

,

12

4

k u

где u - точное решение; M k

max

,

k

3, 4 .

t

k

x

k

32

Из уравнения (2.17) видно, что для полу-

чения значений u(x, t)

на ( j 1)

слое исполь-

зуются значения u(x, t) на

слоях j

и ( j

1) ,

(рис. 2.3). Для начала вычисления необходимо

знать значения u(x, t)

на первых двух слоях:

j 0 , j 1 ,

которые можно определить од-

ним из следующих способов, используя на-

чальные условия (2.15) .

П е р в ы й

с п о с о б .

Заменяя в началь-

ном условии (2.15) производную ut (x, 0)

раз-

ностным отношением

ui1

ui0

xi

i ,

l

для определения u(x, t) на слоях

j

0 , j

1 получим

ui0

fi , ui1

fi l

i .

Оценка погрешности значений ui1 имеет вид [1]:

u

h

M

,

M

max

2u

,

i1

2

t2

Рис. 2.3

2u

x2

.

В т о р о й с п о с о б .

Заменяем производную ut (x, 0) разностным отно-

шением

ui1

ui, 1

, где

u

- значение функции

u(x, t)

на слое

j

1. Тогда

1

2l

i,

из начальных условий (2.15) получаем

ui0

fi ,

ui1

ui, 1

i .

2l

Записав разностное уравнение (2.18) для слоя

j

0 :

ui1

ui

1,0

ui 1,0

ui,

1

и исключив из последних двух уравнений значения ui,

1 , получим

u

f

,

u

1

f

l

.

i 1

i

i 0

i

i1

2

Оценка погрешности значений ui1

имеет вид [1]:

h4

h3

k u

u

M

,

M

max

,

k

3, 4 .

i1

12

4

6

3

k

tk

xk

33

Т р е т и й с п о с о б .

Если функция

f (x)

задана аналитически и имеет

конечную вторую производную, то значения

ui1 можно определить с помо-

щью формулы Тейлора:

u

l2

2u

u

l

i0

.

t2

i1

i0

t

2

Из уравнения (2.14) и начальных условий (2.15) имеем

u

2u

a2

2u

a2 f

u

f

,

i0

l

,

i0

.

t2

x2

i0

i

t

i

Тогда

ui1

ui0

l

a2l2

fi .

i

2

Погрешность значений ui1 ,

полученных по этой формуле, имеет порядок

O(l3 ) .

Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной

краевой задачи для неоднородного волнового уравнения

2u

a2

2u

F x,t .

t2

x2

В этом случае разностное уравнение имеет вид

u

2u u

2 u

2u

u

2h2

F .

a2

i, j 1

ij

i, j 1

i 1, j

ij

i 1, j

ij

Пример 2.2. Методом сеток найти приближенное решение задачи

utt

16uxx ,

u x, 0

2sin

x,

ut

x, 0

sin

x

0

x

4 ,

4

u

0,t

0,

u

4,t

0

t

0

с шагом

h

0,5 , используя первый и второй способы для вычисления значе-

ний ui1 . Результат сравнить с аналитическим решением задачи.

Для решения воспользуемся соотношением (2.18) при

1 . Тогда, учи-

тывая, что шаг по аргументу

x

равен 0,5, получим шаг по аргументу t рав-

ным l

h a

1 8 0,125 . Результаты вычислений будем заносить в таблицу

следующим образом: сначала заполняем столбцы, соответствующие значени-

ям x0	0 и x8 4 (согласно краевым условиям), затем вычисляем значения
u(x, t)	на первых двух слоях (согласно начальным условиям), и далее по

формуле (2.18) вычисляем значения uij на последующих слоях: 34

ит.д.

Пе р в ы й с

формулам

ui 0

j 1: ui,2		ui 1,1	ui 1,1	ui,0 ;
j	2 : ui,3	ui 1,2	ui 1,2	ui,1 ;
j	3 : ui,4	ui 1,3	ui 1,3	ui,2

п о с о б . Значения u(x, t) на первых двух слоях находим по

fi 2 sin		xi , ui1 fi l i	2 l sin		xi ;
	4			4

заносим в табл. 2.2.

В т о р о й

с п о с о б .

Значения u(x, t)

на первых двух слоях находим по

формулам

u

f

2sin

x ,

u

1

f

l

sin

x

sin

x

l sin

x

,

i0

i

4 i

i1

2

i 1

i

4

i 1

4

i 1

4

i

заносим в табл. 2.3.

В табл. 2.2 и 2.3 представлены результаты вычислений. В последних строках таблиц приведены значения точного решения задачи и модулей раз-

ности

u

при t

0,875 . Аналитическое решение задачи определяется по

формуле (см. приложение I):

u

x,t

A cos

n

at

B sin

n

at

sin

n

x,

n

4

n

4

n 1

где A

2

4

2sin

x

sin

nx

dx

0

и

B

2

l

sin

x

sin

nx

dx

0 ,

n

4 0

4

n

a n 0

4

при n

1 :

A

4 sin2

x

dx

1 4

1

cos

x

dx

1

x

2

sin

x

4

2 ,

1

4

2 0

2

0

B

1

4 sin2

x

dx

1 4

1

cos

x

dx

1

x

2

sin

x

4

1 .

1

2 0

4

4 0

2

4

2

0

Следовательно, функция

u x, t

2 cos

t

sin

t sin

x

является точным

4

решением рассматриваемой задачи.

35

Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Смотрите также: