Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

либо 0, либо 1 (автомат свободен, автомат занят). При этом, если в момент ^о = 0 автомат был свободен, то, вообще говоря,

нельзя предсказать заранее, когда его займут первый раз (М , когда он после этого освободится (^Н.когда его займут вторич­ но ( * з ) И т. д.

Случайная величина Х(/), рассматриваемая как функция времени, представляет собой случайную функцию аргумента /,

*o,i — первый автомат свободен, второй занят; *м — оба автомата заняты.

В данном случае процесс характеризуется двумя параметра­ ми (индексами), которые могут принимать значение 0 или 1.

Характерным для тех случайных процессов X(t), которые нам

предстоит рассматривать, является то обстоятельство, что физи­ ческая система, состояния которой описываются случайным про­ цессом X(t), может в любой момент времени t находиться только

то имеет местр событие

X ( t ) = x

если он занят, то имеет место событие

X{t) = x x.

Одной из основных задач изучения случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания, является отыскание вероятностей того, что в момент времени t система

находится в том или ином состоянии. Не описывая случайный процесс исчерпывающим образом, эта вероятность все же дает достаточно полное представление о нем.

Таким образом, объектом нашего изучения будут случайные процессы, протекающие в системах массового обслуживания и описывающие изменения состояний этих систем во времени. Мы будем рассматривать только системы, которые имеют конечное или счетное множество возможных состояний* Такие системы будем называть системами с дискретными состояниями. Возмож-

* Счетным множеством называется множество, элементы которого можно расположить в определенной последовательности (перенумеровать). Счетное множество может быть как конечным, так и бесконечным. Примером беско­ нечного счетного множества может служить множество всех натуральных чисел.

47

ные состояния системы массового обслуживания будем обозна­

Будем считать, что переход системы из состояния в состоя­ ние осуществляется скачком (мгновенно).

Рассмотрим систему с конечным числом состояний л0, ль ...»

которые образуют полную группу несовместных событий. Собы­ тие X ( t ) = X i состоит в том, что система в момент времени t на­ ходится в состоянии Xi. Вероятность этого события обозначим

цесс, протекающий в системе с дискретными состояниями, число которых конечно (или счетно). Такой процесс удобно интерпре­ тировать с помощью графа (схемы) возможных состояний с ука­ занием возможных переходов из состояния в состояние, кото­ рые обозначаются стрелками. На рис. 2.1.2 показан граф

возможных состояний для автомата по продаже воды. Прямо­ угольники символизируют состояния, а стрелки — переходы из состояния в состояние *

Процесс удобно представлять себе, как блуждание точки, изображающей систему, по этой схеме, с мгновенными переско­ ками из состояния в состояние по соответствующей стрелке, происходящими в случайные моменты времени.

Вообще граф возможных состояний будем изображать в виде нескольких прямоугольников, изображающих состояния системы, соединенных стрелками, обозначающими возможные переходы непосредственно из одного состояния в другое, причем направ­ ление стрелки будет указывать направление перехода.

* Переход будем считать «возможным», если система, находящаяся в со­ стоянии, откуда берет начало стрелка, может перейти из этого состояния непо­ средственно в то состояние, куда направлена стрелка (не попадая в другие состояния).

48

строго одновременное занятие или освобождение обоих автома­ тов). Это же замечание относится и к состояниям x0,i и JCIi0.

Состояние, из которого система не может перейти ни в какое другое, называется «состоянием без выхода» *. Например, электрическая лампочка может быть в трех состояниях: выклю­ чена х 0, включена A' I и перегорела х2 (рис. 2.1.4). Очевидно, состояние х2 есть состояние без выхода.

Рис. 2.1.2 Рис 2.1.3 Рис. 2.1.4

Состояние Xi будем называть соседним по отношению к со­

стоянию Jtj, если возможен непосредственный переход из состоя­ ния Xj в состояние Х{.

Если в числе состояний есть только одно состояние хт без

выхода, то при достаточно длительном протекании процесса

Так как для любого момента времени t выполняется нормировоч­

ное условие (2.1.3), то в этом случае

Если в числе состояний есть несколько состояний без выхода:

ТО

т.е. через достаточный период времени система с практической

* Иногда это состояние называют поглощающим.

49

На рис. 2.1.5 изображен граф состояний системы: состояния х\ и х2 представляют собой состояния без выхода. В этом случае

Иш (а (/) + Л (0) — 1-

Могут быть случаи, когда несколько состояний представляют собой «группу состояний без выхода». Так, на рис. 2.1.6 изобра­ жен граф состояний, в котором состояния х\ и х2 представляют

собой группу состояний без выхода.

Если имеется одна группа состояний без выхода, в которую

1.

На рис. 2.1.7 показан граф состояний системы, у которой две группы состояний без выхода: первая группа имеет два состоя­ ния х\, х2\ вторая группа — тоже два состояния *4, х$. При этом,

50