Найдем числовые характеристики случайной величины Тр.
Применяя формулы (1.2.9) и (1.2.10) и учитывая, что
М ro -i |
2 |
|
|
( 1.6.8) |
fc=0 |
k=0 |
|
|
|
D [Z ] = M [Z 2] - ( A f [Z ] ) 2= £ k * p q » - ' - ± = |
|
|||
|
к=1 |
|
|
|
= |
p J - q Y k q * - ' ---- |
pD2 |
’ |
(1.6.9) |
|
^D2 |
|
||
ft= l
получим
/ . . w |
+ P S ( x ) q g ’ (x) |
\ |
-------------- o - |
« w --------------- |
L |
откуда |
|
|
M[Tp]:= - ig 'T (0) = - lg' (0) |
|
|
Ho |
M [7]. |
|
ig-' (0)= |
|
|
Следовательно [см. (1.6.8)]:
Найдем дисперсию случайной величины Тр:
g' (0)
(1.6.10)
|
D \T P\ — — g"Tр (0) + |
(g'Tр (0))2 = |
|
||
_ |
( Pg” (■*) (1 — qg (л-))2 + |
2 (1 — qg (JC)) qg' (.г) pg' (,t) |
|||
- ( |
(i —qg(x))* |
|
)/л = 0 + |
||
|
(g' 10))2 = - g " ( 0 ) |
+ (g' |
(0))21 _ |
(0))2 J _ = |
|
|
p |
p |
' |
|
p |
|
= D[T\-M [Z] + (M [T)fD [Z], |
(1.6.11) |
|||
Зная |
характеристическую |
функцию g r |
(x) |
интервала Tp, |
|
|
|
|
p |
|
|
можно по формуле ( 1.2.11) найти плотность распределения
/тр (0 .
Анализ формулы (1.6.10) приводит нас к естественному вы воду, что интенсивность Кр разреженного потока Пр будет равна
интенсивности исходного потока Я, умноженной на вероятность сохранения события в потоке р:
).„= — -— = |
------ 1-------- |
=1р, |
(1.6.12) |
|
р М [Гр] |
М [Г] М [Z] |
и |
К |
’ |
где К— интенсивность исходного потока Я.
37
Введем новое преобразование Rp потока П, заключающееся в том, что поток подвергается сперва преобразованию Rp, а за
тем сжимается так, чтобы интенсивность потока Пр была равна интенсивности исходного потока П. Для этого достаточно слу чайную величину Тр умножить на р\
|
II |
■J3 |
(1.6.13)
В этом случае характеристическая функция интервала между
соседними событиями Тр в потоке flp= Rp{fl} |
(см. пятое свой |
|
ство характеристической функции в § |
1.2) имеет вид |
|
$ p lg ( x ) \= g r (Р*)= |
, Pgi'l\ t |
(1.6.14) |
р |
i — qg {х) |
|
Нетрудно убедиться, что |
|
|
М[Тр)= М[Т\, |
(1.6.15) |
|
D[Tp] = D[T]p+M[Tfq. |
(1.6.16) |
|
Теперь можно перейти к предельной теореме для редеющих потоков. Смысл этой теоремы состоит в том, что если последо вательно разрежать стационарный ординарный поток Пальма достаточно большое число раз, то такой многократно разрежен ный поток будет близок к простейшему. Предположим, что первое разрежение сохраняет событие в потоке с вероятностью /?i> 0, второе — с вероятностью /?2>0 и т. д. Обозначим h интен
сивность исходного потока Пальма. Предположим, что вслед за каждым разрежением происходит сжатие потока с тем, чтобы его интенсивность оставалась неизменной. Обозначим п после
довательных таких преобразований символом
|
Ш ) = |
/?„,, |
|
{• • • /?Р. {П\ • • -}). |
(1.6.17) |
||||
Сначала покажем, что последовательное двойное разрежение |
|||||||||
со сжатием потока |
П |
с |
вероятностями |
р\ |
и р% эквивалентно |
||||
одному «разрежению |
со сжатием» |
с вероятностью р = р\ро, т. |
|||||||
|
RpARpAn\\=RPtP, [ n \ . |
|
( 1.6. 18) |
||||||
Действительно, |
преобразование |
RPt [см. |
(1.6.14)] дает |
характе |
|||||
ристическую функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
g r |
(■*)= |
P \ g ( р l-V) |
|
|
( 1.6. 19) |
|||
Тогда |
|
'р■ |
1 — Q\g(P\x) |
|
|
|
|||
P 2 g f |
(P2X ) |
|
|
. |
. |
|
|||
|
|
|
|
||||||
te* (■*)! = |
|
TP,________ _ |
P \ P 2 g ( P \ P 2 x ) |
( 1.6.20) |
|||||
JPi |
>— ?2g r „ |
( P 2 x ) |
|
1 — (1 — P ] P l ) g ( P \ P 2 x ) |
|
||||
|
|
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
38
Отсю да
f f -ч g(X))S |
W |
i * > |
, |
где |
i - 0 - P w )e(Pw x)) |
||
|
п |
|
|
|
|
|
|
/»<Я,= Р 1Р2- ■•/»„= П Л- |
|
||
|
|
/ = 1 |
|
Преобразуем выражение ( 1.6.21): |
|
||
*<■> (г м | = ----------------- |
-------------------------- |
|
|
[1 - g |
( Р (л ). * ) ] |
( /> < " > ) - » + |
g ( P in)x) |
( 1.6.21)
( 1.6.22)
(1.6.23)
Найдем предел этого выражения при неограниченном увеличе нии числа преобразований (п— кх>). В этом случае р<п>— Ч) и в
знаменателе (1.6.23) получится неопределенность вида |
Рас |
|||
кроем эту неопределенность: |
|
|
||
НИ! |
1 - S(P(n)x) = |
1}т |
1 |
1к |
р (п)-+О |
Р (я) |
(")Л |
||
|
|
р!40 |
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
Urn R in\g(x)) |
|
(1.6.24) |
|
Сравнивая это выражение с (1.4.14), видим, что у предель ного потока интервалы между соседними событиями распределе ны по показательному закону. Так как исходный поток был по
током Пальма и всякое преобразование Доставляет его потоком Пальма (интервалы остаются независимыми), то предельный поток будет также потоком Пальма с показательно распределен ными интервалами, т. е. простейшим потоком. Исследования показывают, что на практике уже 4—5-кратное разрежение (при /?< 0,8) дает поток, близкий к простейшему, даже если исходный
поток был регулярным. Рассмотрим случай, когда разрежению подвергается простейший поток с интенсивностью X. При разре
жении без сжатия (Д ) преобразованный поток остается про стейшим с параметром Хр [см. (1.6.7), (1.6.24)]:
g Tр с*) |
Pg(x) |
q \ \ — * __ |
\р |
1 — q g (х) |
X — i x ) |
\р — ix |
|
|
|
|
(1.6.25) |
Если же простейший поток с параметром X подвергается
«разрежению со сжатием», то получается простейший поток с тем же параметром X.
39
§1.7. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.7.1.Поток Эрланга k-ro порядка является частным слу
чаем так называемого гамма-потока, у которого интервал между соседними событиями является случайной величиной, подчинен ной гамма-распределению с параметрами а и р:
( t > 0; « > l ) ,
Г(а)
где
со
Г (а )= I*x a~le~xdx
6
— известная гамма-функция. При а=& -Н получаем закон рас пределения Эрланга k-ro порядка. Найти характеристики этого
потока.
Р е ш е н и е Найдем числовые характеристики случайной величины Т,
подчиненной гамма-распределению:
т |
-V |
p v 1 |
e~?‘dt= — ; |
|
Г(«)[о |
P |
|
|
|
<X/Ct— |
l |
|
|
J_L |
■er**dt=— . |
|
|
Г(a) |
P2 |
Следовательно, интенсивность потока будет
3. a
Характеристическая функция интервала Т между событиями
имеет вид
er^dt—
Плотность распределения интервала Т*9 на который случай ным образом падает точка S, определяется по формуле ( 1.2.2):
Ф ' я~1 е-?1
Г(а)
Воспользовавшись известным свойством гамма-функции:
аГ (а)^ Г (а — 1), |
|
||
получаем |
^__1 ■ |
^-3/ |
|
f ( t ) = |
|||
|
|
||
Г ( * + 1 )
40