Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

и направление перехода, проставлены интенсивности пуассонов­ ских потоков событий, переводящих систему из состояния в со­ стояние по данной стрелке. Напомним, что интенсивность пуас­ соновского потока событий, переводящего систему из состояния Х( в состояние Xj, мы договорились обозначать hij(t); функция h yj(t) для любого момента времени t является неотрицательной.

Условимся для краткости граф состояний, на котором простав­ лены не только стрелки переходов, но и интенсивности соответствую­ щих потоков событий, называть

«размеченным графом состояний».

Если составлен размеченный граф состояний, то для составления

м о н и ч е с к о е правило. Производная dpi(t)/dt вероятно­

сти пребывания системы в состоянии

состояниями. Если стрелка направлена в состояние л'г-, то член берется со знаком плюс; если стрелка направлена из состоя­ ния л*,*, то со знаком минус. Каждый член суммы равен произве­

дению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систе­ му по данной стрелке. Число отрицательных членов равно чис­ лу стрелок, направленных из состояния Xi\ число положительных членов равно числу стрелок, направленных в состояние х{.

Пользуясь этим правилом, составим дифференциальные урав­ нения для вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой приведен на рис. 2.3.1:

-Г >4.3 (0 Pi (*) + 4.3 (t)p2(it).

56

При составлении этой системы дифференциальных уравнении рекомендуется смотреть на граф состояний: это существенно

облегчает запись уравнений. Систему (2.3.9) можно короче за­

писать так:

зз

иметь вид

ПП

Для того чтобы проинтегрировать эту систему дифференциаль­ ных уравнений, нужно задать начальные условия

так как в любой момент времени t система будет достоверно

находиться в каком-нибудь одном из своих состояний * Отметил! еще раз, что систему обыкновенных дифференциаль­

стемы, в которой переход из состояния в состояние осуществляет­ ся под воздействием пуассоновских потоков событий. При этом

57

интенсивности в системе (2.3.11) могут быть любыми не­ отрицательными функциями времени. Это означает, что потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, явля­ ются пуассоновскими, не обязательно стационарными (простей­ шими).

Таким образом, допущение о марковском характере процес­ са, протекающего в системе с конечным (или счетным) числом состояний приводит к необходимости анализа системы о б ы к ­ н о в е н н ы х л и н е й н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в ­ нений. В настоящее время аппарат обыкновенных линейных дифференциальных уравнений разработан достаточно подробно. Это является одной из причин широкого применения пуассонов­ ских потоков событий при анализе различных случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания.

Если не делать предположения о том, что процесс, протека­ ющий в системе массового обслуживания, является марковским, то аналитическое исследование работы такой системы требует привлечения более сложного математического аппарата, с кото­ рым инженер либо не знаком вовсе, либо знаком, но весьма поверхностно. К тому же в большинстве задач прикладного ха­ рактера замена непуассоновских потоков событий пуассоновски­ ми с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от истинного, а иногда и вовсе не отличается. При этом погрешность решения, как правило, нахо­ дится в пределах точности исходных данных, которые зачастую известны весьма приближенно. Специальное моделирование раз­ личных задач, проведенное методом Монте-Карло [3], показало, что в большинстве случаев эта погрешность ограничена 3—5% и лишь в редких случаях доходит до 10-^ 12%, что вполне прием­

лемо при решении прикладных задач. Данное положение объяс­ няется тем, что потоки событий, протекающие в реальных си­ стемах, в силу предельных теорем теории потоков по своей структуре весьма близки к пуассоновским.

Однако, как показал А. Д. Соловьев, имеются особые усло­ вия, когда погрешность может достигать значительных величин. Поэтому при решении сложных задач, когда нет уверенности в том, что замена реальных потоков пуассоновскими потоками приведет к малым ошибкам, нужно рекомендовать проверять аналитическое решение методом Монте-Карло (методом стати­ стических испытаний). При этом решение, полученное с помощью пуассоновских систем, можно рассматривать как первое прибли­ жение. Это сокращает проведение расчетов методом Монте-

Карло.

В качестве простого инженерного критерия небольшого отли­ чия реального стационарного потока от пуассоновского можно рассматривать близость математического ожидания и дисперсии числа событий, наступающих на определенном участке времени в реальном потоке.

58

Сделаем следующее замечание. Выше для составления диф­ ференциальных уравнений, описывающих вероятности состоя­ ний, мы пользовались размеченным графом состояний системы. Любому размеченному графу состояний однозначно соответ­ ствует система дифференциальных уравнений, и наоборот. Таким образом, информация, заключенная в размеченном графе и си­ стеме дифференциальных уравнений одна и та же. Однако граф обладает большей наглядностью. Поэтому в дальнейшем, говоря о различных системах массового обслуживания, мы в основном не будем писать дифференциальных уравнений, а будем ограни­ чиваться размеченным графом. Слово «размеченный» для крат­ кости будем опускать.

§ 2.4. ЭРГОДИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕОРЕМА МАРКОВА. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ СИСТЕМЫ

Рассмотрим дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, которые обладают так называемым эргодическим свойством. Будем называть процесс эргодическим,

если по истечении достаточно продолжительного промежутка времени т вероятности со­

нии она находилась в на­ чальный момент времени и не зависят от са­ мого промежутка вре­

мени т.

Пусть имеется система с состояниями (х0, л*ь ..., х п). Для простоты будем считать число состояний п конечным * Допус­ тим, что система в момент времени t0 была в состоянии л'.-. Обо­ значим через pi,j(to, т) условную вероятность того, что система в

Назовем процесс транзитивным, если для любой пары состоя­

* Случаи бесконечного (счетного) числа состояний будут также рассмот­ рены в дальнейшем.

59

в том числе, и вернуться в исходное. Это утверждение вовсе не означает, что каждое состояние системы должно непосредствен­ но соединяться с каждым другим состоянием.

На рис. 2.4.2 приведен граф состояний транзитивной системы,

Возвращаясь к ранее рассмотренным графам состояний, мож­ но сказать, что на рис. 2.1.2; 2.1.3; 2.2.1 и 2.3.1 приведены тран­ зитивные системы, а на рис. 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7 — нетранзи­ тивные.

Очевидно, транзитивность процесса (достижимость любого состояния из любого другого) является необходимым условием того, чтобы этот процесс обладал эргодическим свойством. Если процесс не транзитивен, то система по истечении достаточного времени окажется в одной из групп состояний без выхода или в одном из состояний без выхода. Однако для того, чтобы процесс был эргодическим, этого недостаточно. Нужно, чтобы процесс кроме того, протекал о д н о р о д н о во времени, т. е. чтобы вероятность перехода из состояния Х{ в состояние Xj за время т не зависела от того, в какой момент времени t0 система находи­ лась в состоянии Xij а зависела лишь от величины т. Назовем

марковский случайный процесс однородным, если это условие выполняется:

Для того чтобы марковский случайный процесс был однород­ ным, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были стационарными пуассоновскими, т. е. простейшими потоками. В дальнейшем системы, в которых

60