Таким образом, случайная величина Г* также подчинена гаммараспределению с параметрами ( а + 1); р. Следовательно, число
вые характеристики случайной величины Г* будут
а+ 1
тt*~
Dt |
а + 1 |
|
32 |
||
|
Характеристическая функция случайной величины Г* имеет вид
™ -(т Ь Г
Закон распределения остатка времени 0 найдем по формуле (1.3.2):
|
и |
pV |
|
|
|
e~>ldt |
|
|
1- F ( b ) |
Г (а) |
|
<?(»)= |
| Т(а. ^3) |
||
Щ |
Г(«) |
||
|
где Y (а* •*)= \ e~4axdt — неполная гамма-функция.
Математическое ожидание случайной величины 0 определим по формуле (1.3.5):
1а + 1
т.---------------
8 2 р
Для определения дисперсии величины 0 воспользуемся фор мулой (1.3.7):
|
|
g'" ( 0 ) , |
/г |
g" ( 0 ) |
|
|
|
||
|
|
3mti |
\v |
i2mt |
|
|
|
||
|
|
|
\а |
|
f( |
д2 |
( |
Р |
Y \2 |
|
д» |
3 |
|
\I |
дх? |
\ |
§ — i x |
)х=0) |
|
3 mti |
дх:> |
Р —■'/JC |
)х=0 |
|
|
|
|
Am~t |
|
Найдем производные:
дз (Р —ix)~a = —а (а + 1 ) (а + 2) (р — /JC)—а—3 • i.
дх3
Следовательно:
£>[01 = |
(«+!)(« +5) |
|
рэ. 12 |
41
1.7.2. Моменты прибытия вагонов метро на остановку обра зуют поток, приближенно являющийся потоком Пальма, причем интервал Т между поездами подчинен закону равнохмерной плот ности с характеристиками mt= 2 мин, а*= 0,05 мин.
Определить вероятность р того, что время ожидания пасса жиром очередного поезда не превысит /=1,5 мин, если пассажир
приходит на станцию, не зная расписания движения поездов. Р е ш е н и е .
Плотность распределения времени ожидания 0 определяется
по формуле (1.5.17), следовательно, искомая вероятность будет
/ |
t |
Р = \ <? (0 )d b = J L |
J (1 - F (&))db, |
о1 о
где F(t) — функция распределения |
случайной величины Т, ко |
|||
торая имеет вид |
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
t<^a, |
F(t) = |
t — а |
при a< it< ib , |
||
|
b — а |
|
|
|
|
1 |
|
при |
t^>[b. |
Величины а и b находим из условия |
|
|||
|
Ь 4- |
а |
т,= 2; |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Ь — а |
= а, = 0,05, |
|||
2У з |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
л = |
1,91; |
6 -2 ,0 9 . |
||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
Р — \ |
о |
|
( 0 ) ^ = 0,75. |
|
|
|
|
|
|
1.7.3. Станок производит шарики для подшипников. Средняя производительность одного станка %\ (шариков в единицу вре мени). В цехе имеется т таких станков ( т > 5). Шарики от стан
ков поступают в единый поток, где некоторые из них выбраковы ваются. Средний брак составляет I процентов. Доброка
чественные шарики поступают в цех сборки подшипников, бракованные — ссыпаются в бункер, вмещающий k шариков. Найти закон распределения времени Т, через которое бункер
будет заполнен бракованными шариками.
42
Р е ш е н и е .
Так как станков много, то общий поток произведенных шари ков можно считать простейшим с интенсивностью Х=Х\т.
Поток бракованных шариков будет также простейший, так
как разрежение общего потока происходит |
случайным образом |
|
(вероятность выбраковки |
шарика равна |
р = 1/100). Интенсив |
ность простейшего потока |
бракованных шариков будет |
|
>* = */>•
Обозначим число бракованных шариков, поступивших в бункер за время t%отсчитываемое от
начала заполнения бункера, через X(t). Для фиксирован ного момента t случайная величина X(t) подчинена
закону Пуассона с парамет ром a = 7^t.
Очевидно, случайная ве личина Т определяется слу
чайным моментом выполне ния равенства (рис. 1.7.3 а) Х(Т) =k. Функцию распреде
ления случайной величины Т в этом случае можно наити из ye-
ловия
F(t) = P ( T < t ) = \ - P ( T > t ) = \ - |
k |
|
1 - /? ( £ , Х /), |
||
|
|
i =0 |
т. е. случайная величина |
Т будет |
подчинена закону Эрланга |
k-го порядка с параметром |
XQ ( с м . |
1.5.27). Так как величина k |
(число шариков в бункере) |
обычно достаточно велика, то можно |
|
считать, что случайная величина Т будет приближенно подчине
на нормальному закону с параметрами (см. (1.5.33) и (1.5.34):
Dt |
fe-fl |
|
*5 |
||
|
1.7.4. По условиям предыдущего примера определить вероят ность р переполнения бункера, если в цехе имеется два бункера
для бракованных шариков, которые заполняются последова тельно. Время, потребное для доставки бункера с бракованными шариками в другой цех для опорожнения бункера и возвраще ния пустого бункера на место, равно t\. Считать, что в началь
ный момент работы цеха оба бункера пустые.
43
О т в е т
р= Р { Т С Ь ) = ! - / ? ( * , Ш
1.7.5.Производится воздушная разведка подвижной цели. Установлено, что время пребывания цели на одном месте под
чинено «сдвинутому» — показательному закону:
а |
1 |
при |
t > я, |
О |
|
при |
t<^a, |
где величины а и а положительны, a |
1 (я) — известная единич |
||
ная функция.
Кривая распределения имеет вид, показанный на рис. 1.7.5а. Удар по разведанной цели может быть произведен лишь по истечении времени t\ после обнаружения цели разведчиком. Определить вероятность того, что к моменту нанесения удара t\
цель останется на месте ее обнаружения разведчиком, если про тивник не имеет сведений о действиях разведчика.
Р е ш е н и е .
Условия задачи не изменятся, если считать, что цель на каж дом месте находится случайное время Т, имеющее плотность распределения f(t). Таким
образом, можно рассматри вать некоторый стационар ный поток Пальма с интер валом Т между соседними
событиями, который мы ус ловно назовем потоком ухо дов цели с места ее обнару жения.
Обнаружение цели мож но рассматривать как паде ние случайной точки 5 на
некоторый интервал этого потока. Следовательно, время пребывания цели на месте ее обна ружения 0 будет иметь плотность распределения [см. ( 1.3.2)]
cp(&)= i z i Ш .
щ
где
mt— а Н----- 1
а
О
F (») = С/ (t) dt= 1 —<?-« (»-«) 1 (»-*).
о
44
Искомую вероятность найдем из условия |
|
|
||
|
Р (*,)= Р (0 > *,)= ^ ? (&) <*»=1 - |
\ ?(»)■ |
|
|
|
t, |
о |
|
|
г |
g |<1 \(а - *,) + д» «1 — а)1 + 1 — «—И*--0»-1 |
(Л > |
0). |
|
|
] + ад |
|
||
|
|
|
|
|
График этой функции представлен на рис. 1.7.56.
Рис. 1.7.56
Глава 2
МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
§2.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
При анализе работы систем массового обслуживания при ходится сталкиваться со своеобразными случайными процессами. Договоримся, что случайным процессом будем называть процесс,
который в ходе опыта протекает так, что заранее (до опыта) у нас нет возможности в точности предсказать, как именно будет
*it) |
протекать |
этот |
про- |
|
цесс. |
Последователь |
|||
|
ность |
конкретных |
со |
|
|
стояний, которые |
слу |
||
|
чайный процесс прини |
|||
|
мает |
в |
результате |
|
J ___L. |
опыта, |
с их продолжи |
||
|
тельностями, |
будем на |
||
Рис. 2.1.1. |
зывать |
реализацией |
||
процесса. |
|
|
||
|
|
|
||
|
Рассмотрим некото |
|||
рую физическую систему А", в которой |
протекает |
случайный |
||
процесс, состоящий в том, что система X с течением времени слу
чайным образом изменяет свои состояния. Обозначим состояние системы X в момент времени t через X(t). Состояние X(t) может
характеризоваться какой-нибудь одной величиной (параметром) или совокупностью таких параметров. Конкретную реализацию случайного процесса обозначим через x(t).
В качестве примера рассмотрим работу автомата по продаже газированной воды. В некоторые промежутки времени автомат будет свободен, а в другие — занят. Условимся для определен ности считать, что если автомат в момент времени t свободен, то Х( / ) =0, а если занят, то А(^) = 1. Одна из возможных реали
заций случайного процесса |
x(t) показана на рис. 2.1.1. |
В данном примере работа автомата характеризуется одной |
|
случайной величиной X (t), |
которая в любой момент t равна |
46