Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

рис. 2.1.5; 2.1.6; 2.1.7 состояние х0 является состоянием без входа.

Очевидно» если состояние без входа будет ду, то

lim /?,(/) = 0.

t -*■ос

исследование и делает его бо­ лее наглядным.

§2.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассмотрим один из важных с прикладной точки зрения класс дискретных случайных процессов — дискретные марков­ ские случайные процессы с непрерывным временем *.

Пусть имеется дискретный случайный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями

стоянии была система в момент t0, в какое состояние она должна

перейти через время т.

Другими словами, все вероятностные характеристики марков­ ского процесса в будущем (при t> t0) зависят лишь от того, в

каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени t0 и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал до момента t0 (в прошлом). Короче можно сказать

так: для марковского процесса «будущее зависит от прошлого только через настоящее».

Различают два типа марковских случайных процессов: с дис­ кретным временем и с непрерывным временем. Марковским

* «Марковскими» называют процессы без последействия потому, что их впервые изучил А. А. Марков (1856—1922).

51

случайным процессом с дискретным временем называется про­

цесс, у которого переходы из одного состояния в другое возмож­ ны в строго определенные заранее моменты времени tu U, h , ...

Такие процессы редко встречаются при анализе систем массового обслуживания, поэтому мы их рассматривать не будем.

Марковским случайным процессом с непрерывным временем

называется процесс, у которого переход (перескок) из одного состояния в другое возможен в любой момент времени t. Можно

доказать следующее важное утверждение: если все потоки собы­ тий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским с непрерывным временем Таким образом, марковские случайные процессы с непрерывным временем тес­ нейшим образом связаны с пуассоновскими потоками событий. В первой главе было показано, что стационарные и нестацио­ нарные пуассоновские потоки событий часто встречаются на практике. Соответственно часто встречаются процессы марков­ ские или близкие к марковским процессам с непрерывным вре­ менем.

Для того чтобы описать дискретный марковский процесс с непрерывным временем, нужно знать следующие характеристи­ ки: перечень возможных состояний с указанием возможных не­ посредственных переходов из состояния в состояние, интенсив­ ности всех потоков событий, под влиянием которых осуществля­ ются эти переходы, и, в общем случае, состояние системы в начальный момент при ^ = 0.

Таким образом, для исследования процесса нужно:

1. Указать все состояния, в которых может находиться си­ стема.

2.Составить граф состояний, т. е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние.

3.Для каждого возможного перехода указать соответствую­

щую интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния Хг непосредственно в состояние xj.

4. Указать, в каком состоянии находится система в началь­ ный момент времени (при £ = 0).

Рассмотрение марковских случайных процессов, протекающих в системах со счетным множеством состояний, будем начинать всегда с описания самих состояний и составления графа состоя­ ний, на котором у каждой стрелки проставляется интенсивность соответствующего пуассоновского потока событий. Граф состоя­ ний с интенсивностями пуассоновских потоков событий полно­ стью определяет процесс, протекающий в системе, если указано

* Справедливо и обратное утверждение: если процесс, протекающий в си­ стеме, является марковским с непрерывным временем, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими.

52

*0, Х\\ переход системы из состояния л*0 в л*1 происходит под

воздействием пуассоновского потока событий с интенсивностью V i ( 0 ; из Xi в Хо — с интенсивностью h to(t).

В дальнейшем договоримся, что если переход из состояния xk непосредственно в состояние xi невозможен, то соответствую­

щей стрелки на графе состояний указывать не будем и интен­ сивность соответствующего потока событий бу­

дем считать равной нулю: Khj ( t ) = 0. Удобно также считать, что для любого k интенсив­ ность Xk,k(t) = 0.

§ 2.3. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИИ

Основное преимущество пуассоновских систем в отношении Их исследования состоит в том, что для этих систем вероятности состояний описываются с помощью обыкновенных линейных диф­ ференциальных уравнений.

Чтобы продемонстрировать методику вывода этих уравнений, рассмотрим простую систему с двумя состояниями л:0, Х\у граф которой изображен на рис. 2.2.1. Составим уравнения, опреде­

ляющие вероятности po(t) н p\{ t) того, что система в любой момент времени t будет находиться в состоянии х0 и Х\ соответ­ ственно. Для этого рассмотрим момент времени t и дадим ему малое приращение At. В этом случае вероятность po(t+\At) есть вероятность того, что в момент времени (t + At) система находит­ ся в состоянии .Vo. Это событие может иметь два исхода:

А— система в момент времени t была в состоянии Л'о и за время At из него не вышла;

В— система в момент времени t была в состоянии Х\ и за время At перешла в состояние х0.

Всилу ординарности пуассоновских потоков событий вероят­ ность осуществления нескольких переходов за время At пред­ ставляет собой величину высшего порядка малости по сравне­ нию с At (0 (At) ).

Найдем вероятность события А. Это событие будет иметь место, если в момент времени t система будет находиться в со­ стоянии Хо (вероятность этого po(t)) и за время At не наступит ни одного события в потоке с интенсивностью hofi(t). Условная вероятность этого (в силу отсутствия последействия) равна [см. (1.4.2) и (1.4.3)]:

53

/+м е- :tf

Следовательно:

Событие В будет иметь место, если система в момент време­ ни t будет в состоянии х\ и в потоке событий с интенсивностью ?ч,о(t) за время Д£ наступит хотя бы одно событие, а в потоке событий с интенсивностью A0,i(/) за это же время At не наступит

P a d + At)—p0(t)

и->-o.iWiMO + M O p .W + - ^ 7 i

Переходя к пределу при At— >-0, найдем уравнение

Так как предел левой части есть производная функции /?о(0> то окончательно дифференциальное уравнение для Ро(0 примет

вид

54

Следует обратить внимание на то, что при выводе этого диф­ ференциального уравнения использовались оба свойства пуассо­ новского потока событий: ординарность и отсутствие последей­ ствия.

Очевидно, пользуясь аналогичными рассуждениями и учиты­ вая для каждого состояния все возможные переходы, связываю­ щие это состояние с соседними, можно получить столько обык­ новенных линейных дифференциальных уравнений, сколько имеется возможных состояний системы.

Для нашего примера второе уравнение для p\{t) будет

Естественно, для любого t должно соблюдаться условие

Таким образом, вероятности состояний pi(t) для дискретной

системы, в которой протекает марковский процесс с непрерыв­ ным временем, определяются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Другими словами, если все по­ токи событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то вероятности состояний определя­ ются обыкновенными линейными дифференциальными уравне­ ниями *.

Вероятности состояний марковского процесса находятся интегрированием соответствующей системы дифференциальных уравнений при определенных начальных условиях. Если система в начальный момент времени находится заведомо в одном опре­ деленном состоянии хт, то при / = 0 вероятность этого состояния равна единице: рт (0) = 1, рг ( 0) =0 при 1фт. В общем случае

могут быть заданы вероятности всех состояний в начальный момент, отличные от 0 и 1, при непременном соблюдении условия

Существует определенный методический прием, намного об­ легчающий вывод дифференциальных уравнений для вероятно­

стей состояний [19].

Продемонстрируем этот прием на конкретном примере. До­ пустим, что система имеет четыре возможных состояния: х0у Х\у х2, *3, и что переход системы возможен из любого состояния в

любое. Граф состояний такой системы показан на рис. 2.3.1. На этом рисунке около каждой стрелки, указывающей возможность

* Заметим, что если процесс, протекающий в системе, не является марков­ ским процессом с непрерывным временем, то обыкновенных дифференциальных уравнении для вероятностен состояний составить нельзя.

55