протекает однородный марковский случайный процесс, будем называть простейшими системами.
Теорема Маркова утверждает, что любой транзитивный одно родный марковский процесс с конечным числом состояний обла дает эргодическим свойством, т. е. предел
Нш р (-)=р (0< i < п; |
0 < у < п) |
(2.4.4) |
существует и не зависит от /. Другими |
словами, |
по истечении |
достаточно большого времени функционирования системы веро ятность того, что она будет в состоянии Xj не зависит от того,
в каком состоянии она находилась в начальный момент времени t0 и практически не зависит от времени т, т. е. при достаточно большом т вероятности pj будут достаточно близки к своим пре
дельным значениям. Режим работы системы, при котором веро ятности нахождения системы в состоянии xj (/ = 0, 1, 2, ..., п) не зависят от времени, называется стационарным режимом. Сле
довательно, любой процесс, обладающий эргодическим свойст вом, имеет предельный стационарный режим, который практи чески наступает после достаточно продолжительного времени функционирования («работы») системы. Этот режим не зависит ■от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент времени.
Таким образом, для того чтобы марковский процесс, проте кающий в системе с конечным числом состояний, обладал зргодическим свойством, нужно, чтобы 1) граф состояний не имел ни
одного состояния без выхода и без входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа; 2) все потоки событий, пере
водящие систему из состояния в состояние, были простейшими. Такие системы будем называть простейшими эргодическими системами. Основное внимание в книге будет уделено изучению
стационарных режимов работы простейших эргодических систем. Для всякой простейшей системы (в том числе и эргодической)
интенсивности пуассоновских потоков событий не зависят от вре мени и системы дифференциальных уравнений (2.3.11) превра щается в систему (/i+l) обыкновенных линейных дифференци альных уравнений с п о с т о я н н ы м и коэффициентами:
пп
= |
(* = 0, 1, 2, . . . , «) . (2.4.5) |
;=0 |
*=0 |
Рассмотрим эргодическую простейшую систему, работа кото рой описывается уравнением (2.4.5).
Все время работы системы можно разбить условно на два интервала: интервал (0,/п) и интервал (/п, оо) (рис. 2.4.4), при чем для моментов времени t>tn можно практически считать вероятности /?,• постоянными. Интервал времени (0, tn) обычно
называется интервалом переходного режима работы системы,
61
интервал (/„, оо) — интервалом стационарного режима работы
системы, а величина ta— временем переходного режима систе мы. Время переходного режима системы можно определить из следующего условия:
для любого t> tn
\ P j ( 0 - P j \ < * ( / = 0 , |
1 , . . . , п), |
|
|
|
|
|
||
где величина е > 0 назначается исследователем. |
|
|
|
|
|
|||
Это условие эквивалентно тому, что вероятность Pj(t) |
пре |
|||||||
бывания системы в момент /> /„ в состоянии х } |
мало отличает |
|||||||
|
|
ся |
от |
вероятности |
р } |
|||
|
|
пребывания |
системы |
в |
||||
|
|
этом состоянии в |
ста- |
|||||
0 |
г„ |
t пионарном |
|
режиме |
||||
Переходный оетим |
Стаиионаоныц оежи* |
— *"°°) • |
Чем |
меньше |
||||
работы систем» |
работы систем» |
выбрана |
величина |
|
е, |
|||
Рис. 2.4.4. |
тем будет больше вре- |
|||||||
мя переходного режима |
||||||||
|
|
tu. |
Время |
tn |
зависит |
|||
также от начальных условий (2.3.13), при которых интегрируется
система уравнений (2.3.11). |
|
времени, |
когда |
|
система войдет |
||
По истечении |
достаточного |
|
|||||
в стационарный |
режим |
работы, в соответствии |
с равенством |
||||
|
Г1» |
^ |
т ф |
ту |
|
|
|
|
' * |
с _ |
__ ^ |
|
)---- |
||
-0м |
|
1 |
■U |
----- 1 |
ST |
||
в'/' |
|
|
Of — |
|
t |
||
|
н у |
|
И? _ |
«У |
|
|
|
Рис 2.4.5
(2.4.4) вероятности состояний практически не будут зависеть от времени.
Имеем
lim |
dt |
И т Л ( 0 “ 0. |
t-мое dt |
|
Система дифференциальных уравнений (2.4.5) превращается при этом в систему (п+1) алгебраических уравнений:
— ,'».iPkJr |
^ h . k P j — O- |
(2.4.6) |
|
j=0 |
1=0 |
|
|
Пользуясь системой (2.4.6), |
можно определить |
значение |
р к |
(fc=0, 1, ..., л) с точностью до |
постоянного множителя, но |
эта |
|
62
неопределенность устраняется, если учесть нормировочное условие
п
(2.4.7)
k—О
Вприкладных задачах часто ограничиваются изучением лишь стационарных (установившихся) режимов работы систе мы. В дальнейшем основное внимание будет уделено рассмотре нию стационарных режимов работы.
Выше мы рассмотрели эргодическое свойство как свойство независимости вероятностей состояний от времени и начальных условий при t— и » .
Однако эргодическому свойству можно дать и несколько иную трактовку, которая поможет решать различные приклад ные задачи.
Пусть система, в которой происходит эргодический процесс, находится в стационарном режиме, в ходе которого она время от времени попадает в состояние Xj и через некоторое случайное
время выходит из него. Изобразим на оси fit зачерненными уча стками промежутки времени, в течение которых система нахо дится в состоянии Xj, а незачерненными — промежутки, в тече
ние которых она находится вне этого состояния (рцс. 2.4.5).
На рисунке случайная величина T[j) —это время |
пребывания |
||
системы в состоянии Xj первый |
раз; |
ь{}) — время |
пребывания |
системы вне состояния хj первый |
раз; |
Н[п = Т[}) |
—время |
первого цикла обращения системы; |
Т\!) —время |
пребывания |
|
системы в состоянии xj i-й раз; бР — время пребывания системы вне состояния xj /-й раз; /Ур) = 7"И) + 0/(;) —время /-го цикла.
Вследствие того, что система обладает эргодическим свойст вом, она рано или поздно попадет в состояние Xj, затем выйдет
из него, вновь |
попадет в состояние xj, |
опять выйдет |
из него |
и т. д. Другими |
словами, система будет |
«блуждать» |
по своим |
состояниям, иногда попадая в состояние Xj.
Рассмотрим достаточно большое число циклов N и возьмем
отношение суммарного времени нахождения системы в состоянии Xj к общему времени всех N циклов:
(2.4.8)
Можно доказать, что при неограниченном увеличении числа циклов N отношение (2.4.8) будет сходиться по вероятности к вероятности события pj\
(2.4.9)
63
С другой стороны, в силу однородности рассматриваемого процесса случайные величины (/=1, 2, N) распределены
одинаково, а так как процесс марковский, то они независимы. То же самое можно сказать и о случайных величинах (/=1, 2. ..., N). Поэтому при достаточно большом числе циклов N можно написать следующее приближенное равенство:
N |
|
|
|
2 |
ЗГ|Л |
NM [Га)] |
mrU |
1= |
1 |
||
N |
|
NM[ HU)] |
(2.4.10) |
|
~~ m (h |
||
/ = |
1 |
|
|
где mTM— среднее |
время пребывания системы в состоянии х}; |
||
т н(7) — среднее время цикла. |
|
||
Приближенное равенство |
(2.4.10) |
выполняется тем точнее, |
|
чем большее число циклов имело место, т. е. |
|||
|
N |
|
mTU) |
lim |
т\!) |
|
|
|
(2.4.11) |
||
|
1=1 |
|
mHU) |
Сравнивая (2.4.11) с (2.4.9), приходим к следующему важно |
|||
му равенству: |
|
|
|
|
Р; |
mTU) |
(2.4.12) |
|
mHU) |
||
|
’ |
||
|
|
||
т. е. вероятность пребывания системы в состоянии х-} (при рас
смотрении стационарного режима работы) равна отношению среднего времени пребывания системы в состоянии х$ к среднему
времени цикла. Так как для |
любого i имеет |
место равенство |
11}', = |
7'}Л4-0{Я1 |
(2.4.13) |
то |
|
|
•%0- ) = ^ г(Л + "1 |
(2.4.141 |
|
и выражение (2.4.12) можно записать в следующем виде:
|
TU) |
Pj = |
(2.4.151 |
rU) + m O’) |
где moo*) — среднее время пребывания системы вне состояниях,. Таким образом, вероятность Pj можно трактовать как среднее относительное время пребывания системы в состоянии Xj. Из
этого равенства следует, что для отыскания среднего времени /птО) пребывания системы в состоянии xj достаточно знать ве-
64