роятность пребывания системы в этом состоянии pj и среднее время пребывания системы вне этого состояния т ^ и на
оборот.
Равенством (2.4.15) будем часто пользоваться. Напомним еще раз, что это равенство имеет место только для простейших эргодических систем, находящихся в стационарном режиме работы.
§ 2.5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Для большинства систем массового обслуживания, которые будут рассмотрены в этой книге, граф состояний имеет вид, по казанный на рис. 2.5.1. Для этих систем характерно то обстоя тельство, что каждое состояние (кроме двух крайних) имеет только два соседних состояния. Крайние состояния (крайнее ле вое и крайнее правое) имеют только по одному соседнему со стоянию.
|
Рис. 2.5.1 |
|
|
|
Таким образом, |
граф |
состояний |
можно представить |
|
в виде цепи состояний, соединенных между собой |
стрелками |
|||
переходов. Другими |
словами, |
из любого |
состояния |
хк (кроме |
крайних: к ф 0; кфп) |
возможен переход только в два соседних |
|||
с ним состояния: хк- Х (предыдущее) и хк+1 (последующее). Из крайнего левого состояния XQ возможен переход только в состоя
ние Х\, а из крайнего правого состояния хп — только |
в состоя |
ние Хп-\. |
|
Процессы, описываемые с помощью такого графа |
состояний, |
влитературе принято называть «процессами гибели и размно жения». Такое название они получили потому, что впервые были применены в биологии для анализа численности популяций, рас пространения эпидемий и при исследовании других проблем. Так, например, если считать, что состояние хк соответствует числен ности популяции, равной k, то переход системы из состояния хк
всостояние хк+\ происходит при рождении одного члена популя ции, а переход в состояние хк-\ — при гибели одного члена попу ляции. Число п может быть как конечным, так и бесконечным.
Конечное число членов популяции может иметь место в том случае, когда имеются физические ограничения на максимальную численность популяции, например, при анализе развития микро организмов в каком-либо запаянном стеклянном сосуде. При ана лизе численности популяций в естественных условиях можно практически считать, что нет ограничений на эту численность.
05
На самом деле, такие ограничения есть в силу ограниченности размеров земного шара, но на практике эти ограничения не до стигаются.
Систему дифференциальных уравнений для вероятностей со стояний процесса гибели и размножения можно записать с по мощью правила, приведенного в § 2.3:
— |
------!*•*) Р±if) |
Pt—i ( 0 + у*+1Рь\ {t) |
a t |
|
(2.5.1) |
|
(* = 1 , |
|
|
2 , ... , n — 1); |
dpn V) |
— V-aP. W + ^ - l (0 P—l(«- |
|
dt |
||
|
Эта система уравнений справедлива как для постоянных ин тенсивностей потоков, так и для случая, когда интенсивности потоков являются некоторыми функциями времени:
/-*=>-*(/) (£ = 0 , 1 , . . . , п 1); р,= {!,(/) ( i = l , 2 , ... , п).
Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений нужно задать начальные условия
Ро(0); М О);..., МО); 2 ft(°)e l - |
(2.5.2) |
*=0 |
|
Если число состояний п в системе конечно, то для любого момен
та времени выполняется нормировочное условие
2 |
|
а ( 0 = 1- |
|
|
(2.5.3) |
|
ь=о |
|
|
|
|
|
|
Иногда рассматривают |
п р о ц е с с р а з м н о ж е н и я |
(чис |
||||
того размножения), когда переход из |
состояния |
в состояние |
||||
возможен только слева направо. |
Граф |
процесса |
размножения |
|||
показан на рис. 2.5.2. |
|
|
|
|
|
|
*■ *-/ |
к |
х ч |
|
Xл - // |
п |
|
|
|
х и |
|
|
|
Х м |
/
Рис. 2.5.2
Если переход возможен только справа налево, то такой про цесс называется п р о ц е с с о м г и б е л и (чистой гибели). Граф процесса гибели показан на рис. 2.5.3.
66
Для того чтобы написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса размножения достаточно в системе (2.5.1) положить все параметры Цг = 0 (/= 1, ..., п). Ана
логично, если требуется написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса гибели, достаточно в си стеме (2.5.1) положить все параметры Xk=0 (& = 0, 1, ..., п— 1).
Рассмотрим несколько подробнее случай, когда у процесса гибели и размножения все параметры являются положительными постоянными величинами. Это означает, что величины Яь, |м не
зависят от времени, но зависят от индексов. Такой процесс ги бели и размножения, вписываемый с помощью графа, изобра женного на рис. 2.5.1, будет обладать эргодическими свойствами,
так как оба |
необходимых для |
этого условия |
выполняются; |
\ хо I"»------ 1 X, | |
, . , О * ------1-гЛ |
[- ------ {•**»/[ • • • |
|
Рис. 2.5.3
1)граф состояний не имеет ни одного состояния без выхода
ибез входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа;
2)все потоки событий, переводящие процесс из состояния в состояние, являются простейшими, так как параметры являются постоянными (во времени) величинами.
Будем называть такой процесс простейшим процессом гибели
иразмножения.
Таким образом, для простейшего процесса гибели и размно жения с конечным числом состояний п всегда существует стацио
нарный режим работы *. Для определения предельных вероят ностей для стационарного режима, который наступит в процессе гибели и размножения после достаточного периода времени функционирования, можно записать систему (м+1) однородных алгебраических уравнений [см. (2.4.6)]:
^о^оННч Ро~ О» |
|
|
— (К + ’О РпJ h-\Pk-\ |
f !^-ц0*-н = О (Л=1, 2 , 1 ) ; |
(2.5.4) |
Для решения этих уравнений введем следующие обозначения: |
||
пк~- |
(£ = 0 , 1 , . . . , я - 1 ) . |
(2.5.5) |
* Случаи, когда п = °о, будет рассмотрен ниже.
67
Тогда уравнения (2.5.4) примут вид
и0= 0;
uk— uk- 1= 0; |
(2.5.6) |
tin—i==- 0.
Анализ полученной системы уравнений показывает, что имеет место равенство
uk= 0 (6 = 0, 1 , . . . , д - 1 ) , |
(2.5.7) |
следовательно [см. (2.5.5)]:
Рь+1= — - — р„ (А =0, 1 ,..., л — 1). |
(2.5.8) |
Таким образом, мы получили возможность с помощью рекур рентной формулы (2.5.8) выразить значение любой вероятности Ph+i через все предыдущие.
Pk+1_ fk |
Pk |
_ |
• —l = |
|
|
|
Pk |
|
|
|
|
1АЛ+1[Х* |
|
|
= Po П |
|
( * - 0 , |
1 ,..., /г - 1 ) . |
(2.5.9) |
/=о Ю+1 |
|
|
|
|
Найденное выражение для всех вероятностей состояний про цесса гибели и размножения зависит от вероятности р0 и пара метров потоков. Вероятность р0 можно определить из нормиро
вочного условия (2.5.3):
л—1 |
|
л—1 |
£ |
А > + £ Р ь+1 = Р0 -\-Р оУ \ П —— = |
|||
*=о |
|
ь=о 1=0 |
|
откуда |
|
|
|
Ро= |
|
1 |
(2.5.10) |
Л—1 |
k |
||
i + |
S |
п |
|
|
k=Q1=0 И/+1 |
|
|
Итак, совокупность формул (2.5.9) и (2.5.10) дает возмож ность определить все вероятности состояний процесса гибели и размножения для конечного числа состояний п.
В случае, когда число состояний не ограничено (п = оо), ста
ционарный режим может не существовать даже при постоянных
68
(не зависящих от времени) параметрах X/г; рг\ Это объясняется
тем, что могут иметь место условия, при которых нет никаких ограничений на рост популяции, и процесс все время «будет двигаться направо».
Для того чтобы нормировочное условие
2 Л (0 = !
к=0
выполнялось, достаточно расходимости ряда (см. 20):
|
|
П у - |
|
(2.5.11) |
|
|
/=i ll |
|
|
Если ряд (2.5.11) |
расходится, |
а ряд |
|
|
|
1 П |
- Г |
- |
(2.5.12) |
|
П> '=о ^ |
|
|
|
сходится, то существует стационарный режим |
|
|||
|
pft= lim ^ (/) . |
|
||
Условие (2.5.12) |
всегда выполняется, если начиная с некоторого |
|||
k справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
—J— < * < |
1. |
(2.5.13) |
|
|
Р-/+1 |
|
|
|
Вдальнейшем изложении будет дано физическое обоснование
иприведены примеры, когда наличие постоянных интенсивностей потоков еще не гарантирует существование стационарного режи ма в процессах гибели и размножения.
Если рассматривается процесс чистого размножения, то нор мировочное условие
2 ^ ( ' ) = 1
выполняется только в случае, когда ряд
го
(2.5.14)
69