Для вычисления суммы, входящей в выражение (4.3.12), вос пользуемся методом дифференцирования рядов:
у лх*=у x - L |
**=*— у **= |
|
||
^ |
^ |
дъ |
(Эх ^ |
|
* = 0 |
Л=0 |
|
k=0 |
|
д |
1 — %n+l |
|
1— %Я[/!(1— х) + 1] |
(4.3.13) |
--X----- ------------= X-------- -—-------------- - |
||||
дх |
1— X |
|
(1 — х)2 |
|
Следовательно, среднее число заявок, находящихся в систе ме, будет равно
у _ |
1 — х |
t l — |
Х Я [ п ( 1 — * ) + |
1 ] |
______ 1 — |
Х П [ л ( 1 |
— У. ) + 1 ] |
- (4.3.14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
х --------^ |
|
|
||
_ |
1 — х л + 1 |
|
( 1 — Х ) 2 |
|
|
(1 — хл +1) (! — х) |
|
||||
При х= 1 получим [см. (4.3.10)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z = V |
kpk= — -— V |
k |
|
1 |
n (n + 1) |
|
(4.3.15) |
|||
|
= — — |
|
|
|
|||||||
|
|
k=0 |
* |
n + 1 k=0 |
|
|
/1 + 1 |
|
|
|
|
Среднее число занятых каналов k определяется так: |
|
||||||||||
|
|
|
|
т- |
|
1 — хл |
при |
х |
1; |
|
|
|
|
k = n ( l - p 0) = |
1 — Хл i 1 |
|
|
|
(4.3.16) |
||||
|
|
|
П2 |
при |
х= |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Л |
+ |
1 |
|
|
|
|
Для этой системы вероятность того, что любой отдельный ка нал будет занят, равна вероятности того, что все каналы будут заняты:
*з.к = 1- Р о = — |
(4.3.17) |
п |
|
Время простоя канала Тпл< распределено по показательному закону с параметром X, так как граф состояний для определения закона распределения времени Тп.к имеет вид, показанный на
рис. 4.3.2.
Среднее время простоя канала будет равно
Т„.к= 4к- |
(4.3.18) |
Среднее время занятости канала определяется на основании эргодического свойства:
L = tп . к |
Яз.к |
(4 .3 . 19) |
|
Яз.к |
|||
1 |
|
130
Закон распределения времени занятости канала определяет ся с помощью графа состояний, имеющего вид, указанный на рис. 4.3.3.
Соответствующую этому графу состояний систему дифферен циальных уравнений нужно интегрировать при начальных усло виях
РЛ0)= 1; РЛ0) = 0 {кф 1). |
(4.3.20) |
Рис. 4.3.2 |
Рис. 4.3.3 |
Вероятность полной загрузки системы равна вероятности того, что в системе обслуживается п заявок:
^П.з---Р п - |
(4.3.21) |
Закон распределения времени полной загрузки системы Гп.3 будет показательным с параметром лр, так как граф состояний для определения этого закона имеет вид, показанный на рис. 4.3.4.
Рис. 4.3.4 |
Рис. 4.3.5 |
Следовательно, среднее время полной загрузки системы будет
= — , |
(4.3.22) |
nix |
|
откуда (на основании эргодического свойства) среднее время неполной загрузки системы, когда в системе имеется число зая вок меньше, чем л, равно
I , з =7 „ . 1 |
(4.3.23) |
Яп.з
Закон распределения времени неполной загрузки системы опре деляется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.3.5.
Систему дифференциальных уравнений, соответствующих это му графу состояний, нужно интегрировать при начальных усло виях
Рп—\ (0) = 1; /?*(0)=0 (к ф п — 1). |
(4.3.24) |
131
Среднее время нахождения заявки в системе определяется равенства [см. (4.3.14) и (4.3.15)]:
1 |
]] |
х ф 1; |
Л[Л |
при |
|
(1 — У/1-*"1) (1 — 7.) |
(4-3.25) |
|
п |
при |
|
~2Г |
У.= 1. |
|
|
|
Расчеты показывают, что функцию распределения времен^ пребывания заявки в системе довольно хорошо можно аппроцси' дмировать выражением
F (0 = [*п.з + гсн.з( 1 — < |
\{t) |
(4.3.26) |
где Яп.з=1— Яц.з — вероятность полной загрузки системы.
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что занято ровно k каналов:
|
1 — уПП |
при у. Ф |
1; |
||
Ри= |
|
|
|
||
1 |
|
при у.= |
1, |
||
|
|
||||
|
п + 1 |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv- |
|
|
|
Вероятностъ обслуживания заявки |
|
|
|||
|
|
1 — |
|
при |
Ъ ф \\ |
|
1 |
---- У .'1 т 1 |
|||
|
|
|
|||
Р обе 1^ |
Рп= |
п |
|
при |
У.— 1. |
|
|
Л+ 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Среднее число заявок, находящихся в системе: |
|||||
ц1 |
|
+ 1] |
при у. Ф 1; |
||
(1 - * )(1 - * « п, |
|
||||
|
|
|
|||
п |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
при |
х = 1 . |
|
|
|
|
||
* Эта формула получается при сохранении в аппроксимированной функ |
|||||
ции F (0 величины скачка |
при t=0 и математического ожидания таким же, |
||||
как и для функции F(t). |
|
|
|
|
|
132
Среднее число занятых каналов
т - |
1 — У .п |
при X Ф 1; |
1 |
---- У .П - г |
1 |
/12
при х= 1.
/2+1 Вероятность того, что канал занят:
Т
Вероятность того, что система полностью загружена:
|
уП-- уЛ-И |
При |
х Ф 1; |
|
|
1— ХЛт1 |
|
||
^П.З---Рп--- |
|
|
|
|
1 |
|
при |
х= 1. |
|
|
|
|||
|
/2+1 |
|
||
|
|
|
|
|
Среднее время полной загрузки системы |
||||
|
1 |
|
|
|
|
^з.е :— “/2IX |
|
|
|
Среднее время неполной загрузки системы |
||||
“7 _Т 1 |
лп.з |
• |
|
|
/н.З-- :/з.С |
|
|
||
Среднее время нахождения заявки в системе
1\
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.3.1.Указать, какая система имеет большую пропускную способность: 1) система массового обслуживания с отказами и без взаимопомощи или 2) система массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью, если параметры обеих си
стем (л, Я, р) одинаковы (я> 1). Р е ш е к и е
Очевидно, введение взаимопомощи должно привести к увели чению абсолютной и относительной пропускной способности си стемы и формального доказательства можно было бы и не при водить. Однако методические приемы, употребленные при доказательстве, помогут нам решать другие задачи.
133
Перейдем к решению задачи. Покажем, что если
РобеО) |
R(n— 1, з) |
|
R (л, а) |
P i t |
1— Xя |
1 _ %Л+1 ’ |
|
где |
а |
|
то Робе !> Роес, т. е. СМО с отказами и взаимопомощью име^т
большую пропускную способность, чем СМО с отказами и б^3 взаимопомощи.
Рассмотрим три различных случая:
Случай 1.
х = —п = 1 |
( а = й ) . |
|
|
|||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
P i t > Робе, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
^ |
R ( n ~ |
1, |
л) |
|
|
|
п + 1 |
|
R(n, |
п) |
|
|
|
||
Перепишем это неравенство в виде: |
|
|
|
|||||
л |
ч. |
R ( n , л) — Р |
(л, |
п) |
|
|||
л + 1 ^ |
|
R ( n , |
п) |
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
n.R{n, /г)> (/г-И )[/?(я , |
п) — Р(п, |
п)\ |
||||||
и |
|
|
п )> Р (п , |
|
|
|||
(й + 1 ) Р ( и, |
/г), |
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(я+1)Р(я, |
я ) = 2 Р ( я , |
» ) > V P ( i , й), |
||||||
|
|
k=0 |
|
|
А’ -О |
|
||
|
|
|
п |
Р (п> п |
|
|
||
так как каждый член |
суммы |
^ |
«роме последнего, |
|||||
|
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
больше каждого члена |
суммы ^ |
|
|
и) |
[см. |
(1-5.24)], а пс- |
||
следние члены сумм равны. |
|
*=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
134