Рассмотрим другой случай.
Случай 2. х < 1 . В этом случае |
1 —хп> 0 |
и |
|
|
|
1 — *"+ > > |
о. |
|
|
Проведем доказательство: |
|
|
|
|
1 — ~/,П |
R {п, а) —Р (п, а) |
|
|
|
1— *nti |
R(n, а) |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
( 1 - х л)Я (й, а ) > ( 1 - * л+1)[/?(й, а) —Р ( п , |
а)]. |
|||
Заметим, что если х < 1 , |
то 1 —*л+1 ;> i _ * л > о , |
откуда |
||
(1—хл)[/?(й, а ) -Р (й , |
®)]>(1 —%n+')[R(n, |
а) —Р(п, а)]. |
||
Но |
|
|
|
|
( 1 - х л)/?(й, а) > |
(1 — X") [/?(«, а) —/ >(й, а ) ] > |
|||
> ( 1 - * " +1)[/?(й, а) - Р ( п , а)].
Таким образом, и во втором случае доказано, что
P o( l > P (oL
Предоставим читателю самостоятельно доказать это неравен ство и в третьем случае, когда х>1 (рекомендуется воспользо ваться неравенствами 1— хп+1<1 — хп<0).
Таким образом, система со взаимопомощью всегда имеет большую пропускную способность, чем система без взаимопо мощи.
4.3.2. Обслуживание заявок производится системой массового обслуживания с отказами, параметры системы /г, А,, р. Обслужи вание каждой заявки приносит среднюю прибыль С\. С целью
увеличения доходов от обслуживания предлагается провести ре организацию, состоящую в том, что система будет допускать взаи мопомощь между каналами. На преобразование СМО с отказами в СМО с отказами и взаимопомощью требуется израсходовать стоимость С2. Переоборудование занимает время тп. Определить, по истечении какого времени t после начала переоборудования
вновь организованная СМО с отказами и взаимопомощью начнет приносить прибыль.
Р е ш е н и е
Задачу будем решать при условии, что стационарного режима в системах мало по нем переоборудования тп и временем t(t>
время установления сравнению со време тп). Начало отсчета
135
для времени тп и / одно. В этом случае можно записать следующее уравнение:
где XQ1— X |
~ |
*’ — |
абсолютная |
пропускная |
способность |
|
|
R(n, |
a) |
|
F |
3 |
|
tf> = A 1— 7-Л |
СМО с отказами; |
|
|
|||
-абсолютная |
пропускная |
способность |
||||
|
1 — |
-/Я+Х |
СМО с отказами |
и взаимопомощью; |
||
|
|
|
||||
а = |
- |
|
|
|
|
|
|
,и |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Л(1 |
|
|
|
|
|
Решая это уравнение, получим время t, по истечении которого
реорганизация начнет приносить прибыль:
/ = |
Я( я - 1, «) X]-1 |
|
Я(Л. a) ;J |
||
|
4.3.3. При решении предыдущего примера стоимость содержа ния канала без взаимопомощи и стоимость содержания канала со взаимопомощью предполагалась одинаковой. На самом деле это может быть не так. Рассмотрим случай, когда на содержание одного канала СМО с отказами без взаимопомощи в единицу времени расходуется стоимость С3, а на содержание одного канала СМО с отказами и взаимопомощью в единицу времени расхо дуется стоимость С4> С 3. Преобразование СМО с отказами в СМО со взаимопомощью потребует единовременных затрат Сг, а
время переоборудования будет равно тп. Средняя прибыль при обслуживании одной заявки равна С\. Обе рассматриваемые
СМО: с отказами без взаимопомощи и с отказами и взаимопо мощью имеют одинаковые параметры (я, X, ц ). Определить усло
вия рентабельной работы обеих СМО и при каких условиях с экономической точки зрения есть смысл переходить от СМО с отказами и без взаимопомощи к СМО с отказами и взаимопо мощью между каналами. Указать время t после начала переобо
рудования, по истечении которого вновь созданная СМО со взаимопомощью начнет приносить прибыль.
Р е ш е н и е Рассматривается стационарный режим работы. Для СМО с
отказами и без взаимопомощи условие рентабельности будет иметь вид
Хо1)С 1> С 3я,
где ?*о(1) — абсолютная пропускная способность СМО с отказами и без взаимопомощи.
136
Условие рентабельности состоит в том, что средняя прибыль от обслуживания должна покрывать средние расходы на содер жание системы массового обслуживания [см. (4.1.33) в примере 4.1.4]. Тогда
С 3 |
^ ) Д ( п — 1 , а ) |
|
C l |
' |
n R ( n , а) |
Условие рентабельности для СМО с отказами и взаимопо мощью определяется по формуле
> С4я,
откуда с учетом (4.3.11)
Ci |
л(1 |
при |
х ф 1; |
|
|
|
|||
64 ^ |
^ |
при |
х = 1. |
|
С ! |
/г + 1 |
|||
|
|
С экономической точки зрения переход от СМО с отказами и без взаимопомощи к СМО с отказами и взаимопомощью может быть оправдан только в том случае, если прибыль в единицу вре мени, получаемая от СМО с отказами и без взаимопомощи, будет ниже, чем прибыль в единицу времени, получаемая от СМО с от казами и взаимопомощью:
Xo!)Ci — С4га > l-o^Ci — С3п
или |
|
|
|
|
- |
Слп > |
ХЯЙ’сС, - |
С3п, |
|
откуда |
|
|
|
|
P i l - Р 1{ |
> |
С (С4 - |
С3). |
(4.3.27) |
В примере 4.3.1 было показано, что вероятность обслуживания
для СМО с отказами и взаимопомощью Р0(бс всегда больше ве
роятности обслуживания СМО с отказами и без взаимопомощи РоУс Поэтому левая часть неравенства (4.3.27) всегда положи тельна. Правая часть неравенства также положительна по усло вию задачи. Следовательно, решение о переходе на обслужива ние со взаимопомощью зависит от конкретных значений парамет ров системы га, Я, р, а также от коэффициентов стоимости Ci,
С3, С4.
Предположим, что условие (4.3.27) данной задачи выполняется и обе системы рентабельны. Тогда время t, по истечении которого
вновь созданная СМО с отказами и взаимопомощью начнет при
137
носить прибыль большую, чем система с отказами, определится из уравнения
(X^Cj - С3п ) t = - С о |
( X f c , - |
С4л ) ( t - |
||
откуда |
|
|
|
|
1 — У.” |
£± |
п тп |
||
(Х 1 — |
+ 1 |
|||
С) |
|
|||
/ ? ( / * - ! , а) |
Сз п |
|||
R(n, |
а) |
Cl |
|
|
Рассмотрим численный пример. Допустим, что на переобору дование СМО требуется время тп=1 [месяц]. Обе СМО имеют параметры
л = 6; X= 15 — — ; ц = 3 — — ,
месяц месяц
откуда
15
5,
3
— = 0,833.
п
Стоимостные характеристики заданы отношениями
Проверяем, являются ли обе СМО рентабельными. Проводим вычисления:
} (]) _ |
1 R(n — 1, а) |
р, |
1_ |
1 — у/* |
0 |
п R ( n t а) |
|
п |
:2,38. |
|
I — %лт1 |
|||
Убеждаемся в том, что |
|
|
|
|
|
С3 ^ |
|
R (п — 1, а) |
|
И |
Cl |
П |
R(fl, а) |
|
|
|
|
|
|
|
С4 |
__Х |
1— Xя |
|
|
Ci |
п |
1— |
|
Следовательно, обе СМО рентабельны.
138
Выясним, целесообразно ли переоборудование, для чего про верим, выполняется ли условие (4.3.27) данной задачи:
P i l - |
Р о1=( |
0,95 - |
0,8=0,15; |
|
п |
I С 4_____ С 3 |
\ |
= 0,14, |
|
X I С, |
с, |
/ |
|
|
следовательно, условие (4.3.27) данной задачи выполняется, так как 0,15>О,14.
Подсчитаем, через какое время / переоборудованная система начнет приносить прибыль:
/= 3 ,0 2 (месяца].
4.3.4.Доказать, что среднее время пребывания заявки в СМО
сотказами и полной взаимопомощью с параметрами п, Я, ц
всегда меньше среднего времени пребывания заявки в СМО с
отказами и без взаимопомощи и теми же параметрами (п, Я, ц).
Р е ш е н и е Для системы с отказами и взаимопомощью среднее время
нахождения заявки в системе определяется по формуле
7 (2 ,_ Т ^
где
. 1 - У.” [/1(1-— у.) 4- 1] |
при XФ 1, |
|
(l-y -M l-v /1-!) |
||
|
||
п |
при х = 1 |
|
,7 |
||
|
среднее число заявок, находящихся в СМО. Для системы с отка зами и без взаимопомощи среднее время нахождения заявки в системе определяется из выражения
7(1)=
где
R(ti — 1, д)
*(1) =
R (л, «)
— среднее число заявок, находящихся в СМО, равное среднему числу занятых каналов, так как каждый канал может обслужи вать только одну заявку.
Для доказательства того, что
7(2) < 7(1), достаточно доказать, что I (_) < £(1).
139