Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Рассмотрим вначале случай, когда х = 1 , т. е. когда а = л > 1 . В этом случае должно выполняться неравенство

В § 1.5 при рассмотрении потока Эрланга было доказано, что для любого целого числа /г>0 имеет место равенство

Р (п — 1, п) = Р(п, /г).

Следовательно, окончательно имеем

Р(п —2, /г)> 0 .

Это неравенство выполняется для любого п>1, так как функция

*=о

больше нуля.

Рассмотрим теперь случай, когда х< 1 . В этом случае нужно

140

В примере 4.3.1 было доказано, что при к<1

Pol > P ll,

только при числе каналов п>\.

Предлагаем читателю самостоятельно доказать справедли­ вость неравенства

/ (2)< & (1) для случая х > 1 .

§4.4. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

ИЧАСТИЧНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и : На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью Я. Плотность простейшего потока обслуживаний каж­ дого канала р. Если поступившая на обслуживание заявка за­ стает все каналы свободными, то она принимается на обслужи­ вание и обслуживается одновременно / каналами (1<п). При

этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсив­ ность l\i.

141

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при п^ 2 1 вновь прибывшая заявка будет при­

нята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно /

каналами.

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (/= 0, 1, 2,...), при этом (* + 1 )/< я , то поступившая

заявка будет обслуживаться / каналами с общей производитель­ ностью /р. Если вновь поступившая заявка застает в системе /

вании будут заняты все п каналов, которые распределены между

заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заяв­ ка застает в системе п заявок, то она получает отказ и не обслу­

живается. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Как и при анализе системы массового обслуживания с отка­ зами и полной взаимопомощью между каналами (см. § 4.3), будем классифицировать состояние системы по числу заявок,

целая часть числа я//. Каждая заявка обслуживается одновре­ менно / каналами с общей производительностью /р;

Xj — в системе имеется / заявок (j = h+ 1, ..., /г), в обслужива­ нии принимают участие все п каналов, распределяясь между

заявками приблизительно равномерно. Граф состояний такой системы показан на рис. 4.4.1.

Этому графу соответствует система дифференциальных урав­ нений для вероятностей состояний, которая справедлива и для переменных параметров X и р (желающие могут составить эти

уравнения).

Рассмотрим стационарный режим работы системы для случая A,= const, p = const и t— кю, который существует, так как система

обладает эргодическим свойством (см. § 2.4). В этом случае

142

можно выписать систему алгебраических уравнений и решать ее так, как это мы делали до сих пор. Однако можно поступить проще и воспользоваться теми решениями, которые были уже получены.

Заметим, что граф состояний системы до состояния Xh с точ­

ностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с от­ казами, изображенными на рис. 4.1.1. Следовательно [см. (4.1.8)]:

Граф состояний системы начиная от состояния хн и кончая со­ стоянием хп совпадает с точностью до обозначений с графом

состояний системы массового обслуживания с полной взаимопо­ мощью, изображенным на рис. 4.3.1. Таким образом [см. (4.3.5)}:

Введем обозначения:

(4.4.2)

х

(4.4.3)

гц*.

С учетом (4.4.3) выражение (4.4.1) окончательно примет вид

143