Документ: Прикладные задачи теории массового обслуживания., страницы 141-145

С учетом

(4.4.5)

выражение

(4.4.4)

окончательно примет вид

Р

( k ,

<* )

1 —

- , < * = » ........ '■>;

R

(Л, а/) + Р

(Л, а/) у.

1

(4.4.6)

Pk—

y k - hP(h, а/)

1 _ хя~й (k=h, . . . ,

п).

Л(Л, оц

+ Р (Л, “О * '

1 —X

Для сокращения

дальнейшей

записи

введем обозначение

____________ 1____________

при у.

1;

1 _

ул~Л

R ( f t ,

o i l ) +

Р

(Л, а/) -/. —;-------

1 --

У.

}

(4.4.7)

____________ 1____________

при У. =

1 .

, я ) + Я(А,

P ( h

* i ) ( n

— h )

Найдем характерисгики работы системы. Вероятность обслу

живания заявки будет равна

Яовс= 1 - Р „ = 1 -

Р*"-ЛЯ (А, а,).

(4.4.8)

и

Среднее число заявок Г, находящихся

в системе [см. (4.1.17)

(4.3.13)]:

П

h

П

7= £

*/> * = £

«i)+

£

ар**-"Я(а, «,)=

ft =0

ft=0

ft =/2+1

= PV?(A-1,

a,)+ p P(V

~

£

* * * - £

kv.k — P^iR(h— 1, a^-f-

ft= 0

ft = 0

+

a^ 7 i * ,,

[ l+ ^ ( 1- v - ) - / f,- /i[« (l--/.) +

1]].

(4.4.9)

Среднее число занятых каналов k

найдем из выражения

Лп

k = ^ k l p k4-n	£ pk= l ^ lR ( h - \,a . l)-\-n^P{h,a.l) x ~	^ - .
* = о	* = Л + 1
		(4.4.10)
Вероятность того, что отдельный канал будет занят:
	Т	(4.4.11)
	ТСЗ.К------- .	(4.4.11)
	П

144

Вероятность занятости всех каналов системы определим из

выражения

п

			X			(4-4.12)
			k=h+1
Это выражение справедливо, если h< п						т. е. п/1 не является
Целым числом. Если /г= п/1, то					Т
Целым числом. Если /г= п/1, то
					1_v/I—^+1
		=	£	Р*=?р (Ь а/)		—
			k=h
В случае, если х = 1 ,			во всех выражениях, где имеет место неоп
ределенность, ее нужно раскрыть:
			Umx 1~~Y—		= tt —li;	(4.4ЛЗ)
			*-►1	1 — У.
,ir?	^1 — /-)-	+		(1 - * ) + ! ) ]		(л — h)(n + л + 1)
,ir?		+		(1 - * ) + ! ) ]		2
*-►1						2
			1	v n—h 1		(4.4.14)
			1	v n—h 1	ii —h-f-1.	(4.4.15)
		lim ------:--------=			ii —h-f-1.	(4.4.15)
		X - . 1		1 — V.	1

Закон распределения времени Г3.вл. занятости всех каналов для случая, когда А<п// определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.4.2.

Рис. 4.4.2

Соответствующая этому графу состояний система дифференциальных^уравнений ^должна интегрироваться при начальных

условиях ph+1(0) = 1; pk{0) =0(/e=^A +1). Плотность распределе

ния времени занятости всех каналов системы находится из выражения

/,...« W = « W5a+1 (/) ( /> 0 ) .

(4.4.16)

Закон распределения времени простоя хотя бы одного из кана лов, если h<n/l, определяется с помощью графа состояний, изо

браженного на рис. 4.4.3. Соответствующая этому графу состоя

145

ний система дифференциальных уравнений должна интегриро

ваться при начальных условиях /?/Д0) = 1; Рь(0) =0{кф1г).

Плотность распределения времени простоя хотя бы одного канала системы найдем по формуле

(/) = >7А(О (f> 0 ) .

(4.4.17)

Рис. 4.4.3

Для отыскания среднего времени занятости всех каналов си стемы Г;,.,,.,;, т. е. времени ее однократного пребывания в состоя

			ниях хн+и	*п (см. рис.			4.4.1),
			составим	дополнительный			граф
			состояний,	изображенный		на рис.
пу	пу	пу	4.4.4.				Эт
			ностью до обозначения состояний
	Рис. 4.4.4.		соответствует графу,		изображен
	Рис. 4.4.4.		ному на рис. 4.3.1. Тогда в соот
			ному на рис. 4.3.1. Тогда в соот
			ветствии с формулой		(4.3.9)		веро
ятность ph+k будет определяться из выражения
	P„+k = *k	t	(* = °. I,---,	n - h )	1).	(4.4.18)

Следовательно, вероятность пребывания системы в группе со стояний AVH, ..., хп (см. граф на рис. 4.4.4) будет

*з.„.к = *гЛ+1.....1—?* = * “ !_ JLft+i

(4.4.19)

Тогда, в соответствии с формулами (2.5.11) и (2.5.12), будем иметь

	Лз.в.к
_	J _

^з.в.к "Ь —

откуда среднее время занятости всех каналов равно

■ 7 _ 1		X (1. — хл“” ~ Л)	1	1 — xn~h	(4.4.20)
*З .Н . К ----- “7	•	1--X	n\L	1 --X	(4.4.20)
Если х =1 , то		1--X	n\L	1 --X
Если х =1 , то		— _ 1	п— h
		— _ 1	п— h		(4.4.21)
		*З.в.к---------------	--		(4.4.21)

146

Теперь можно _найти среднее время простоя хотя бы одного ка

нала системы	/п.х.к, т. е. среднее время пребывания системы в
С О С Т О Я Н И Я Х * 0 ,	*1,	*h, из простой формулы

			Кз.н .к ------ ГГ-		^з.н.к
			Кз.н .к ------ ГГ-
откуда				^З.В.К ■ +■ ^п.х.к
откуда
		,	„	.			1 _	* Л - А
4	___ 4	,	„	.	1 - р />(*,.,)% —----—
4	___ 4	1	^ з . в . К ___ 1			______________1		*
* П . Х . К ------* З .П .К		-----------------------		X		РЯ(Л,	а/)
				X		РЯ(Л,	а/)
Если х = 1 ,	то
	1		1	1— рЯ(Л, * i ) ( n - h )			»
	tn.x.K— — •				— 7	:	»
			х		рР (Л,	«*)

(4.4.22)

(4.4.23)

где р — вычисляется по формуле (4.4.7).

Напомним еще раз, что формулы (4.4.20) — (4.4.23) справед ливы только для случая, когда число каналов п не делится без

остатка на величину / [h =			^y-j <	-у- j
Если число п делится на число I без остатка							, то рас
смотренные выше формулы принимают такой вид:
		1	1— Х.Л-/Щ		при	* = h 1
		/?(А	1 --%		при	* = h 1
		/?(А	1 --%				(4.4.24)
		I	71 — Л+1		при	х = 1	(4.4.24)
		I	71 — Л+1
	,	р	п
	,	р	п
1	1 — рЯ(Л, </)(! —				*)~1 при		х ф 1;
X		?р (Л, «/)					(4.4.25)
^ П .Х .К —		( . - » + !) л р „ , = ,.					(4.4.25)
		( . - » + !) л р „ , = ,.
X	PЯ (Л,	а / )

Можно показать, что система массового обслуживания с час тичной взаимопомощью и отказами имеет большую пропускную способность, чем система массового обслуживания без взаимо помощи (естественно при одинаковых параметрах системы п, л, J L ) I , но меньшую, чем система с полной взаимопомощью между каналами при тех же параметрах п, А, р.

Вероятность полной загрузки системы равна

*п,з= рп.

(4.4.26)

Время полной загрузки системы Г п .з распределено по показа

тельному закону с параметром /гр, потому что граф состояний, с

147

помощью которого определяется это время, имеет вид, показан ный на рис. 4.4.5.

Следовательно, среднее время полной загрузки системы равно

7„.з = —	(4.4.27)
П'1
На основании эргодического свойства можно найти среднее
время неполной загрузки системы
7 ,.,= 7 п.з — "п- 3-	(4.4.28)
Лп.З

Среднее время пребывания заявки в системе определяется из выражения

(4.4.29)

Рис. 4.4.5 где Т— среднее число заявок, маходящихся в

системе и определяемых по формуле (4.4.9). Функцию распределения времени Т пребывания заявки в

системе можно аппроксимировать выражением

Г		(	- ' н . , г ' У	1 1(0,		(4.4.30)
F{t) = 1«п.з +	,сн.з\1 — е			1 1(0,		(4.4.30)
где я„.з=1— яп.з — вероятность			неполной	загрузки		системы.
Эта формула получена так же, как и формула (4.3.26).
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что все каналы свободны:
Р (0,		«,)	--------- г	при	х Ф 1;
			--------- г	при	х Ф 1;
R (Л, а;) -f Р (Л,		а;) %•	1— у.
Ро=			1— у.
Ро=
Р (0.		Я\|)		при	V. = 1 ,
. р (Л, а,) +	Р (Л, а,) (п — h ),У			при	V. = 1 ,
. р (Л, а,) +	Р (Л, а,) (п — h ),У
где	У, — —
		X

а1= 1—

/|j.

НР

Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Смотрите также: