Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Вероятность того, что занято ровно А каналов:

Среднее время пребывания заявки в системе

7= —

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

4.4.1.Определить, на сколько увеличится вероятность обслу­ живания для СМО с отказами, параметры которой равны п=10,

Х= 8 Г——1; м.= 0 ,8 Г— 1, если обеспечить взаимопомощь в пре­

лин] Iмин]

делах группы из двух каналов (1= 2).

Р е ш е н и е Для СМО с отказами без взаимопомощи вероятность обслу­

живания определяется по формуле (4.1.13):

Р (1) _ /г (/г — 1, а)

обе —

R ( n , а)

149

В нашем случае п= 10, а= 10

Для системы с частичной взаимопомощью имеем

Для этой системы в случае, когда х = 1 , вероятность обслужи­ вания определяется по формуле (4.4.7) и (4.4.8):

Таким образом:

Яоб’с - Робе= 0,883 - 0,795 = 0,088.

4.4.2. Для условий, приведенных в предыдущем примере, найти среднее время нахождения заявки в системе для обоих случаев: СМО с отказами и без взаимопомощи и СМО с отказа­ ми и частичной взаимопомощью.

Р е ш е н и е Для отыскания среднего времени нахождения заявки в си­

стеме можно воспользоваться формулой

Среднее число заявок, находящихся в СМО с отказами, будет равно среднему числу занятых каналов

7(1>=1“,= «.P ‘VC = 7I95.

Среднее число заявок /(2), находящихся в СМО с отказами и частичной взаимопомощью, определяется по формуле (4.4.9) с учетом формулы (4.4.14):

[а,Я(/г — 1, а,)-)-Я(Л, а ,)Х

Я(!щ) + Р(Л, al) (п — Л)

X ~ Y ~ (W~M + 1)] —6,2.

Следовательно, среднее время нахождения заявки в СМО с отказами и без взаимопомощи равно

а для системы с взаимопомощью

150

Таким образом, в данном случае система с частичной взаимо­ помощью обслуживает заявки с большей вероятностью и бы­ стрее.

§4.5. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

ИСЛУЧАЙНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАЯВОК ПО ВСЕМ КАНАЛАМ

(ЗАНЯТЫМ И НЕЗАНЯТЫМ)

П о с т а н о в к а з а д а ч и . До сих пор мы рассматривали различные системы с отказами, когда вновь поступившие заявки распределялись только по свободным каналам. Сейчас рассмот­ рим случай, когда вновь поступившая заявка направляется с равной вероятностью \/п в любой из п каналов, безотносительно

к тому, занят канал или нет. Если заявка направлена в свобод­ ный канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживает­ ся показательное время с параметром р. Если заявка направлена в занятый канал, то она покидает систему необслуженной. Оче­ видно, что если вновь прибывшая заявка застанет все каналы занятыми, то она не будет обслужена и получит отказ. Но она может получить отказ и при наличии свободных каналов.

Входной поток заявок, как и в предыдущих параграфах, простейший с интенсивностью Л. Заявка, попавшая в канал на обслуживание, «терпеливо» ждет конца обслуживания. Заявка, принятая к обслуживанию, обслуживается достоверно.

Примером такой системы массового обслуживания может служить система ПВО при нарушенном управлении в распреде­ лении целей между каналами обстрела.

Такую СМО будем кратко называть «системой с отказами и случайным распределением заявок».

Рассматриваемая система массового обслуживания может находиться в следующих состояниях:

х0— система свободна; вновь поступившая заявка обязатель­

но будет обслужена;

хк — в системе занято k каналов (0< k < n )yкоторые обслужи­ вают k заявок; вновь поступившая заявка попадет в один

хп — все п каналов заняты; вновь поступившая заявка полу­

чает отказ.

Граф состояний этой системы показан на рис. 4.5.1. Этому графу состояний соответствует система дифференциальных урав­ нений для определения вероятностей состояний, справедливая как для постоянных параметров Л и р , так и для переменных.

151

(Читателю рекомендуется написать эту систему дифференциаль­ ных уравнений.)

Проанализируем установившийся режим, который имеет ме­ сто при постоянных параметрах A,= const, p,= const и t— их>

(система обладает эргодическим свойством).

Рис. 4.5.1

Выпишем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний в стационарном режиме:

О— —X +

0 = —ПРРп-Т— Рп-1.