Преобразуем выражение для вероятности |
р„\ |
|
||||
' * = 7 ^ П ( ^ ) ' И Ж П |
< » - 0 = |
|
||||
|
1 ~ u |
|
|
i=0 |
|
|
= |
С//Р0 = укС*пР$ (О |
k |
и\ |
(4.5.3) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
/?{Л |
|
|
|
|
|
Cj=r |
п\ |
|
|
(4.5.4) |
|
|
k\ (п — k)\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Вероятность р0 определим из нормировочного |
условия: |
|
||||
2 |
Р к — ^0 2 |
г; Кk |
|
|
|
|
У'ПС*п — P Q ( 1 4" * ) п — 1 , |
|
|||||
к=0 |
к =О |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
1 |
|
|
|
|
Лг |
|
|
|
(4.5.5) |
|
|
(1 + |
*)я |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
окончательно |
получим |
[см. (4.5.3) и |
(4.5.5)]: |
||
|
Рк~~ |
(1 + *)л |
|
|
(4.5.6) |
|
|
|
|
|
|||
Найдем среднее число занятых каналов к (в данном случае
оно совпадает со средним числом обслуживаемых заявок):
Р = |
kPk = P oX |
k*kCn = p0* |
ъкСп = |
|
k - О |
|
к = О |
|
к = 0 |
|
|
д |
Л7. |
(4.5.7) |
|
= /7пу . |
-------дъ |
( 1 4 - х ) л = ---------------- |
|
|
ro |
1 н- у. |
|
|
Вероятность обслуживания заявки получим из выражения
\ik |
К |
(4.5.8) |
Р обе-- , -- |
|
|
|
|
1 + X |
Вероятность того, что отдельный канал будет занят, опре делим из формулы
I |
* |
(4.5.9) |
|
1 + % |
|
|
|
153
откуда среднее время простоя канала будет
|
"7 |
Т |
1 |
— Л'з.к |
п |
(4.5.10) |
|
* П . К ---- * З . К |
|
Яз.К |
----- . |
||
|
|
|
|
* |
|
|
Среднее |
время полной |
загрузки |
системы равно tn.3= |
|||
|
|
|
|
|
|
l l \ L |
(см. граф |
состояний |
на рис. |
4.5.1). |
Вероятность |
того, что |
|
гг |
|
|
|
|
|
*л |
система будет полностью загружена, |
равна ^п.з= Рп— ~ ----- — , |
|||||
|
|
|
|
|
|
( 1 -f- *А) |
следовательно, среднее время неполной загрузки системы можно найти по формуле
7„.,=7„., |
= -j-[(1 + *)» -х»]. |
(4.5.11) |
Лп.з |
X |
|
Среднее время нахождения заявки в системе определяется по формуле
X (JL 1 -f X
Ввиду небольшого объема данного параграфа не будем при водить сводку расчетных формул.
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.5.1.Доказать, что классическая система массового обслу живания с отказами, рассмотренная в § 4.1, параметры которой
/г, X, р, имеет вероятность обслуживания Яобс |
большую, чем ве |
|||||
роятность Р обе |
для СМО с отказами и случайным распределе |
|||||
нием заявок с теми же параметрами |
(/г, Я, р) |
(п> 1). |
||||
Р е ш е н и е |
обслуживания Рос |
|
|
|
|
|
Вероятность |
|
определяется |
по формуле |
|||
(4.1.13): |
Робе(1) |
|
|
|
|
|
|
R ( n - |
1, |
а) |
|
|
|
|
R (П, а) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Вероятность обслуживания Р обе |
определяется из |
выражения |
||||
(4.5.8): |
|
_ J __ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 + |
-/. |
|
|
|
Требуется доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
R ( n - \, а) ^ |
|
1 |
|
|
|
|
R (п, а) |
1+ у. |
|
|
||
Преобразуем это неравенство, имея в виду, что ■*. = —
п
154
R { n - \ , a)-f — Я ( д - 1 , « )> /? (я , a)
п
или
R { n ~ 1, a) > — [/?(«, a ) - / ? ( « - l , a)].
П
При рассмотрении потоков Эрланга в § 1.5 было показано, что
R(n, |
a) — R ( n — 1, a)— P(n, a). |
Кроме, того: |
|
— P(n, |
a) = — — e -a= P (n — 1, a). |
aа л !
Сучетом двух последних равенств получим
Я (я — 1, > |
Я (/г — 1, а), |
или |
|
/?(/г — 2, а)-(-Я(/г— 1, а )> Я (/г — 1, а), |
|
откуда |
|
Я (/г -2 , |
а)> О, |
что выполняется для любых а и /г. Таким образом, доказано, что
^(обс>я£бс для любых параметров (/г, Я, р).
4.5.2.Рассматриваются две системы массового обслуживания:
1) СМО с отказами с параметрами л Д , ц и 2) СМО с отказами и случайным распределением заявок по каналам с теми же пара метрами (п, Я, р). Доказать, что среднее время пребывания за
явки в системе в первом случае будет больше, чем во втором,
если п> 1, т. е.
Р е ш е н и е Для СМО с отказами имеем
7<1) ■ * (1) _ |
1 а Ж я - 1 . а> _ |
1 Ж " - 1. а> |
|
X |
X |
R(n, a) |
(J- R (л* a) |
Для СМО с отказами и случайным |
распределением заявок |
|||
получим |
|
|
|
|
~(2)_ * (2) __ |
;2У- |
^ 1 |
|
1 |
X |
X (1 + у.) |
lx |
1+ 7. |
|
Следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство
достаточно выполнения неравенства
R (п — |
1, 7) |
1 |
(/7, |
а) |
1 + х |
155
Справедливость этого неравенства_была показана в предыду
щем примере. Уменьшение времени № (по сравнению с временем
А(1)) связано с тем, что вероятность обслуживания заявки системой с отказами больше, чем у системы с отказами и случайным рас пределением заявок. Если же рассматривать условное среднее время пребывания в системе, вычисленное при условии, что заявка принята к обслуживанию, то для обеих систем оно будет одинаковым, равным 1/р.
§ 4.6. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ, ВЗАИМОПОМОЩЬЮ И ОТСУТСТВИЕМ ИНФОРМАЦИИ
О РЕЗУЛЬТАТАХ ОБСЛУЖИВАНИЯ
П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход я-канальной системы массового обслуживания подается простейший поток заявок с интенсивностью X. Каждый канал обслуживает заявку в течение случайного времени Т{>., распределенного по показательному за
кону с параметром р. При этом обслуживание заявки заканчи вается успешно с вероятностью р. Информация о том, закончи
лось ли обслуживание успешно или безуспешно, в СМО не поступает. Если к моменту прихода новой заявки занято k кана лов (6 = 0, 1, 2, ..., п— 1), то оставшиеся {n — k) каналов присту
пают к обслуживанию вновь прибывшей заявки. Таким образом, если заявку начали обслуживать (п — k) каналов, то вероятность
vee обслуживания |
будет равна |
|
|
1 —(1 - p ) n~k |
(4.6.1) |
Каждый канал, |
начавший обслуживать |
заявку, обслуживает |
ее случайное время, по истечении которого он освобождается, в то время как другие каналы могут еще продолжать обслужи вание.
Заявки «терпеливые», т. е. время обслуживания заявки не ограничено.
Примером такой системы может быть система ПВО, когда нарушено целераспределение и каждую вновь поступившую в зо ну обстрела цель обстреливают все свободные каналы. Каждый канал обстреливает цель некоторое время и за это время пора жает ее (независимо от других каналов обстрела) с вероят ностью р.
Рассмотрим подробнее работу такой системы. Допустим, что в момент / = 0 все каналы были свободными. В этом случае пер вую пришедшую заявку будут обслуживать все п каналов и ве роятность ее обслуживания будет равна 1 — (1—р)п. Если к мо-. менту прихода новой заявки все п каналов заняты, то она полу
чает отказ. Постепенно каналы, занятые обслуживанием первой заявки, будут освобождаться (все в общем случае в разное вре мя). Если к моменту t свободен хотя бы один канал, и в этот
момент прибывает новая заявка, то она принимается на обслу-
156
живание всеми свободными к этому моменту каналами. Таким образом, если в системе обслуживанием занято k каналов
(fe= 1, 2, я), то нельзя точно указать, сколько заявок обслужи вается. Можно лишь утверждать, что число обслуживаемых зая вок S находится в пределах
1 < S < £ (Л = 1, 2, . . . , п). |
(4.6.?) |
Анализ работы системы начнем с введения состоянии системы, которые в данном случае будем связывать с числом за нятых каналов: хк— обслуживанием занято ровно k каналов, (п—k) каналов свободны (/е= 0, 1, 2, ..., /г); в этом случае число
заявок в системе не больше /г.
\
Рис. 4.6.1
Из состояния хк система может перейти в состояние хк-и
если освободится канал. Интенсивность потока освобождений равна k[i. Система из состояний хк может перейти в состояние л:п, если придет новая заявка. Интенсивность потока заявок X. Если система находится в состоянии хп и прибывает новая заявка, то
последняя получает отказ.
Граф состояний такой системы показан на рис. 4.6.1.
Этому графу состояний соответствует система дифференци альных уравнений для вероятностей состояний:
(A - fi)№ + i(0 (0<k<n)\ |
(4.6.3) |
|
<!Р'^Р = - п\хрп(/) ~ >- V рк(/)• k=0
Начальные условия для интегрирования этой системы обычно берут такими: /?0(0) = 1, рк{0) = 0 (6 ^ 0 ). Напомним, что в этой системе уравнений параметры % и ц могут быть некоторыми
157
функциями времени, т. е. потоки событий могут быть нестацио нарными пуассоновскими потоками.
Найдем |
решение |
этой |
системы |
для |
случая |
К= const и |
|||||
ц = const. Последнее |
|
уравнение |
системы (4.6.3) |
можно перепи |
|||||||
сать в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
^ |
- |
= - «I*Рп(0 ■ ( 1 - |
Рп(/)), |
|
(4.6.4) |
||||
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как для любого t |
выполняется нормировочное условие |
||||||||||
|
|
|
|
2 Л ( 0 = 1 - |
|
|
|
|
(4.6.5) |
||
|
|
|
|
Л = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование Лапласа |
для уравнения |
(4.6.4) |
при началь |
||||||||
ном условии рп (0) = 0 |
будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
(s -f яр. 4- X) pn(s) —X, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Pn(s)= |
|
|
|
|
|
(4.6.6) |
|
|
|
|
|
5 -f- -j- X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
np + x |
|
|
|
|
(4.6.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение для определения |
вероятности |
p n - |
i ( t ) |
запишется |
|||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Р " |
~ \ U) = |
— (X + (я — |
1) р.) Р п |
- 1 ( / ) |
+ п\хрп ( t ) . |
(4.6.8) |
||||
С |
учетом |
(4.6.6) |
|
преобразование |
Лапласа |
для уравнения |
|||||
(4.6.8) |
при начальном условии p„_i(0)= 0 |
примет вид |
|||||||||
|
|
(5+ Х + |
(л - 1 ) ^ ) |
р„_, (s) = ----- |
|
- f - к |
|
(4.6.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
5 - J - |
/ 7 [ А |
|
|
|
откуда
Р п - 1 ( S )
ирХ
(4.6.10)
(s + лр + X) (s + (л — 1) р + X)
Переходя далее к рп- 2, рп-з и т. д., можно убедиться, что
т - 1
X П р ( л — О
Pn-m(s)=------ |
— ---------------- |
, |
(4.6.11) |
т |
(s 4- (п — /)|JL + Х) |
|
|
П |
|
|
*=0
158