откуда по формулам обращения для преобразований Лапласа
получим
|
т —1 |
|
т—, |
|
V" п (Л-о |
||
Рп-т it) = |
— ——------- 'r l |
P I (rt — / ) x |
|
|
П (X + и(л — *)) |
1 |
|
-m—^ |
/=0 |
|
|
|
(-1)'wem'M |
||
X £ (_ \)ie№ |
1 |
||
-J^o X-hfx(n —У) (m — j)\ |
m\ (K+ {x (n — m)) 0 < /г с < /г . (4.6.12) |
||
Вероятность /?о(0 найдем из условия
л— 1
(4-6ЛЗ)
m=0
Рассмотрим стационарный режим работы при t— мэо. В этом
случае получим следующие выражения для вероятностей со стояний:
|
m — 1 |
(л —о |
|
|
fimx П |
|
|
Нт j0„_m (/) = р„_т = ------ — ------------ (0 < /га < га), |
(4.6.14) |
||
/ со |
т |
|
|
|
П (Х + (1(л— 0) |
|
|
|
1= 0 |
|
|
|
Итр,, (0 = / » |
, = " ----- |
(4.6.15) |
|
*—~ |
А+ |
|
Обозначим, как прежде, |
|
|
|
|
-£- = |
а |
(4.6.16) |
и разделим числитель и знаменатель выражения (4.6.14) на ве личину !^1|.
|
т—1 |
а— "' — |
а |
П (л — 0 |
|
= |
|
- (0 < гаг < га). (4.6.17) |
П |
(а + (п — I)) |
П (а + (л —/)) |
1=0 |
|
/=0 |
Обратим внимание на то, что последнее выражение справедливо и для гаг = 0, в чем можно непосредственно убедиться (см. (4.6.15)].
Дальнейшие преобразования связаны с введением гаммафункции Г (JC) . Напомним ее свойства:
г (х + 1) |
при |
. п |
------ - |
л > 0 , |
|
Г (х) |
|
(4.6.18) |
га! — Г (га -j-1) |
при |
га=1, 2, 3, . . . |
159
С учетом выражения (4.6.18) вероятность рп-т [см. (4.6.17)]
будет иметь вид
ап\ |
Г (a -f п — т) |
(О < |
т < |
п). |
(4.6.19) |
Р п— т |
Г (а + п + 1) |
||||
(п — /и)! |
|
|
|
|
Если обозначить число занятых каналов k = n—т, |
то формулу |
|
(4.6.19) можно будет |
записать так: |
|
ал! |
Г (а + k) |
(4.6.20) |
k\ |
( 0 < Л < л ) . |
|
' Г(а + л + 1 ) |
|
|
Вероятность ро найдем из условия |
|
|
|
р0= 1 - 2 > - |
(4-6.21) |
|
А = 1 |
|
Если а является целым положительным числом, то формула (4.6.20) упрощается [см. (4.6.18)]:
ра—1
Р/г |
ал! |
(а + k |
— 1)! |
( 0 < А < я ) , |
(4.6.22) |
|
А! |
(а + |
л)! |
||||
|
'л+П |
|
||||
|
|
|
|
|
где
Cmп П\
т\ (п — т)\
Можно убедиться в том, что формула (4.6.22) справедлива для любого целого числа k (£=0, 1, 2, ..., п), т. е. что
a—1
2 еа -г k—1= С“+„. к=0
Вычисление вероятностей ри удобно проводить с помощью таблиц биномиального распределения В (п, т, р)
В (п, т, р)=С?ртдп- т |
(4.6.23) |
где
<7— 1 — Р\
т < п.
Действительно:
Cm __ |
В ("■"■т ) |
В ( л, т, — |
п '•— ' |
(4.6.24) |
|
|
(т)" |
*(”•”• т) |
Таблицы биномиального распределения можно найти в [23].
160
о т к у д а
|
а—1 |
В ( а + k — 1, а — I, ——^ |
|
/V |
«+» -!_ |
\_______________ 2J |
Я ^/i —А + 1, n — k 4-1, |
|
|
В ^7 + /7, 3, |
|
(4.6.25^
Напомним, что последнее выражение справедливо только при целом положительном а. Если а не целое, то при большом чис
ле каналов n(/i>10) можно приближенно провести линейную интерполяцию: сначала найти решение для [а] — целой части а,
а затем для числа 1а]+'1 и после этого линейно интерполировать на величину а.
Найдем различные характеристики работы системы. Для оп ределения вероятности обслуживания проведем следующие рас суждения. Выдвинем гипотезу о том, что к моменту поступления
очередной заявки |
система находилась в состоянии |
хк. |
Вероят |
||||
ность этой гипотезы будет рк. В этом случае |
очередную |
посту |
|||||
пившую заявку |
будет |
обслуживать |
(п—k) каналов |
и |
вероят |
||
ность ее обслуживания будет равна |
1 — (1 — р)п~к. Следователь |
||||||
но, полная вероятность обслуживания заявки будет |
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
п |
|
|
р обс=£ ( 1_ ( 1 _ /?У'-*)/,* = 1 -< 7 п |
£ |
|
(4.6.26) |
||||
|
|
k=0 |
|
|
*=0 |
|
|
где <7 = 1 — р. |
|
|
|
|
|
|
|
В частном случае, когда вероятность р= 1: |
|
|
|
||||
Ро б е |
1 |
Рп |
X |
П |
_J__ |
|
(4.6.27) |
1 |
/1 + 3 |
1+ * |
|
||||
|
|
|
77JJL + X |
|
|
||
Сравнивая эту формулу с формулой |
(4.5.8), можно заметить, что |
||||||
при р= \ рассматриваемая система и система с отказами и слу
чайным распределением заявок имеет одинаковую пропускную способность.
Вероятность того, что система будет полностью загружена,
определим из формулы |
|
-н.з = А, = — ;— |
(4.6.28) |
а + п |
|
(эта формула справедлива для любого а > 0 ). Время полной за грузки системы распределено по показательному закону с па раметром /гц, следовательно, среднее время полной загрузки сис темы будет
t
пц
161
откуда среднее время неполной загрузки системы можно найти из выражения
п
7„.з=7п.з - |
Jtjj,з |
а + " |
= т ~ |
(4-6.29) |
|
^ |
л |
|
X-f я
Для отыскания закона распределения времени неполной за грузки системы составим граф состояний подсистемы X, пока
занный на рис. 4.6.2.
Л
Рис. 4.6.2
Систему дифференциальных уравнений, соответствующих это му графу состояний, нужно интегрировать при условии, что в мо
мент t= 0, система находится в состоянии хп-и т. е. |
|
Р„-1 (0) = 1; р„(0)=0 ( к Ф п - \ ) . |
(4.6.30) |
Покажем, что время простоя системы в этом случае также распределено по показательному закону с найденным выше па
раметром Л= ~ ~ tн.з.
Выпишем систему дифференциальных уравнений, соответст
вующих графу состояний подсистемы X, изображенной на
рис. 4.6.2:
- ( Ж я - 1 ) р ) Я - 1 W;
d p " - f - { t ) = |
- (X + ( г а - о т ) ц ) ~ Р п - т ( 0 + |
at |
|
— |
(от— 2 ,3 ,..., га). t |
162
Преобразование Лапласа для этой системы уравнений при на чальных условиях (4.6.30) будет иметь вид
(s + X -f (/г — 1) а) Рп—1(5) = S]
(5-J-X-[- (/г — т) а) Рп-т (s)= |
|
(4.6.3—) |
|
=={Р' |
Ш~Ь 1) )^Рп—т+ 1($) (/П = 2, |
3, . . . |
| |
Решая последовательно эти уравнения, получим |
|
||
Р п - \ (^)— ■5 + X4- (л — 1) »х |
|
|
|
|
т — 1 |
|
(4.6.33) |
|
1 П (л — /) |
|
|
|
|
|
|
~Рп-т( 0 = |
—------- — ----------- ("1= |
2, з ........л). |
|
|
П (S - f I + (л - |) а ) |
|
|
|
/ = 1 |
|
|
Можно убедиться, что сумма изображений всех этих вероят ностей состояний имеет вид
7 -1
п S 1 П (л — /)
5] Рп—т(5):
т- 1
+ £ |
i |
= -^ -.(4 .6 .34) |
5 + Х + (л — 1);х ' " |
S + 1 |
^=2 П (s;+ х + (л — i) [*)
1=1
Следовательно, оригинал для этой суммы равен
£ -х/. (4.6.35)
Преобразование Лапласа является линейной однородной опе рацией, для которой выполняется свойство суперпозиции:
если
/ ( 0 = 2 //(о
/=1
и fi(s) |
|
е с т ь |
и з о б |
р а ж е н и е |
ф |
у н к ц |
и и - |
/ Д О , |
т о |
/ ( s |
е с т ь |
и з о б р а ж е н и е |
ф у н к ц и и |
/ |
( 0 - |
|
/= 1 |
с у м |
|||
С л е д о в а т е л ь н о , |
||||||||||
н о с т е й |
> Д 0 , . . . , P n - \ ( f ) б у д е т |
р а в н а |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
(4.6.36) |
|
|
|
|
|
т= 1 |
|
|
|
|
|
|
163