В соответствии с графом состояний, изображенным на рис. 4.6.2, плотность распределения времени неполной загрузки системы будет определяться по формуле
/ н . з |
( /) = |
>• 2 |
P n - m ( t) = 'i*e-}t ( |
t > 0 ) |
, |
( 4 . 6 . 3 7 ) |
||
|
|
П1= 1 |
|
|
|
|
|
|
что и требовалось |
показать. |
|
будет равно |
|
|
|||
Среднее число занятых |
каналов |
|
|
|||||
|
|
|
* = 2 |
k P k • |
|
|
( 4 . 6 . 3 8 ) |
|
|
|
|
k=Q |
|
|
|
|
|
Вероятность того, |
что |
канал занят, |
найдем |
по |
формуле |
|
||
|
|
|
* э , < = —П |
|
|
|
( 4 . 6 . 3 9 ) |
|
Среднее время занятости канала /З.к по условию равно |
|
|||||||
|
|
|
73, = |
— |
, |
|
|
(4.6.40) |
|
|
|
|
м- |
|
|
|
|
откуда на основании эргодического свойства среднее время про стоя канала можно вычислить так:
7„.к=7.к ‘ ~ Лз-к |
(4.6.41) |
Л 3.к
Найдем среднее время пребывания заявки в системе. Допу стим, что к моменту прихода очередной заявки система была в состоянии xh(k<n). Вероятность этой гипотезы равна р/г. В этом случае очередную заявку начнут обслуживать (п—k) каналов.
Обслуживание будет продолжаться до тех пор, пока для всех (п—k) каналов не кончится время обслуживания, которое осу
ществляется каждым каналом независимо от других (при этом заявка с некоторой вероятностью может быть и не обслужена; вероятность этого равна (1—р) п~к). Следовательно, обслужива
ние будет продолжаться до тех пор, пока оно не закончится у того канала, который обслуживает заявку максимальное вре мя среди всех п—k каналов. Таким образом, время обслужива
ния будет определяться из формулы
Г(л_ Л) = шах(Г11 Г2, . . . ? 7V*), |
(4.6.42) |
где Ti(i= 1, 2, ..., п—k ) — система независимых случайных вели
чин, распределенных одинаково по показательному закону с па раметром |х.
164
Известно [19], что закон распределения максимума (п—k)
независимых одинаково распределенных случайных величин имеет вид
|
/<-*> (0= (« - k) (F i (/))я“ *” 1 • /, (О, |
(4.6.43) |
где Л (0 |
(/> -0) —плотность распределения |
случайной |
|
величины 7\-(г=1, 2, 3 , ... , |
ti —k)\ |
|
F 1(0 — функция распределения той же слу |
|
|
чайной величины. |
|
Следовательно, плотность распределения максимума (п—k)
случайных величин, распределенных одинаково по показательно му закону с параметром р, будет иметь вид
/<«-« (/)= (« - *)(1 - |
(* > 0), (4.6.44) |
а функцию распределения этого времени можно найти по фор муле
/=•<„_*) (0 = (1 - е - » ‘)г- к (t > 0, k < я). |
(4.6.45) |
Если вновь прибывшая заявка застает все каналы занятыми (вероятность этого равна рп), то она немедленно получает от
каз, следовательно, плотность распределения времени нахожде ния заявки в системе будет равна
/(0) = В (0, |
(4.6.46) |
где 6 (0 — дельта-функция (см. § 1.5), а функцию распределения найдем по формуле
Ло> (0= 1(0, |
(4.6.47) |
i
где 1 ( 0 = f b(t)dt —единичная функция.
Таким образом, безусловная плотность распределения време ни нахождения заявки в системе будет иметь вид
|
я о = 2 / ( - « ю |
л |
(* > °)- |
(4.б.48) |
|
|
л=о |
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание времени пребывания заяв |
|||||
ки в системе: |
|
|
|
|
|
1 = j / / ( o ^ |
= J < 2 /(»-*>( 0 / v # = |
2 М |
// (,'_ *) ^ ‘//’ |
(4-6*49) |
|
_оо |
о Л=0 |
|
*=0 |
о |
|
так как (см. [21]) |
0. |
|
|
|
|
|
to (/) = |
|
|
|
|
165
Найдем интеграл вида |
|
j tf(n-k) (f) d t = j t(n — k) (1 — е-^У~к~г (1.e-'ltd t= |
|
п —k —1 |
|
= (rt-k) 2 |
’лСГ-fc-i ( — 1 )mj t (e-»‘)me-*‘dt-- |
m = 0 |
0 |
m - 0
Исходя из последнего выражения, получим следующую фор мулу для среднего времени нахождения заявки в системе:
л—1 п — Р— 1
|
|
|
|
|
2 |
|
7Z-frrr- (4.6.50) |
||
|
|
Л = 0 |
|
/л=0 |
|
(« + I)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом формулы |
(4.6.20) выражение для среднего времени на |
||||||||
хождения заявки в системе окончательно примет вид |
|
||||||||
7 = — |
V |
— |
• |
r(g + *> |
■ |
У |
(-1 )» С ? _ * _ ,-----------.(4.6.51) |
7 |
|
,Х |
^ |
k \ |
|
Г (<1+ л + 1) |
^ |
v |
(/л+1)2 к |
||
|
k = 0 |
|
|
|
|
т = 0 |
|
|
|
При целом положительном числе а получим |
|
|
|||||||
|
— |
1 |
л—1 p a — 1 л — k — 1 |
|
|
|
|||
|
|
W+*-l |
2 |
|
|
(4.6.52) |
|||
|
|
* |
в=11 С“+п |
|
|
||||
|
|
т=о |
|
|
|
||||
Зная среднее время пребывания заявки в системе, можно найти
среднее число заявок, находящихся |
в системе: |
1 = П. |
(4.6.53) |
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что занято ровно k каналов:
Рп |
ап |
Г(з + £) |
|
k\ |
Г(зс 4- п 4- 1) 1 |
||
|
п
Р о= 1
/? = 1
где а —— Iх
16G
При а целом положительном числе эти формулы принимают вид
^ = - ^ = L ( 0 < * < « )■ ^а+л
Вероятность обслуживания
* г ,
к=О
где <7 = 1 —р.
В частном случае при р = 1 (^=0)
Ро6с = — -— .
П+ а
Вероятность полной загрузки системы
ъ п.з = Р п = |
- |
• |
|
а + п |
|
Среднее время полной загрузки системы
1 ^З.С-- 'Щ
Среднее время неполной загрузки системы
7 _ _ L
* н . з — К
Среднее число занятых каналов
£ = 2 Ьр„
*=0
Вероятность того, что канал занят
‘ГСпК-- k
Среднее время занятости канала
7 3.к = —Iх •
Среднее время простоя канала
^П.К Iх ' ЯЗ.К
167
Среднее время пребывания заявки в системе |
|
|
Л— 1 |
л—ft—1 |
|
Г (а + к) |
£ (-i)mc"U_i |
1 |
Г(* + л + 1) |
(т+1)'2 * |
|
т- О
Вчастности, при а целом положительном числе
л-1 а—1 |
л—ft—1 |
Сa+ft+1 |
1 |
а |
2 ( — l) mC£l»_i |
(■W+.l)2 |
|
Са-Ьл |
т = 0 |
Среднее число заявок в системе
Т = а .
З а д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.6.1.Рассматривается система ПВО с нарушенным управле
нием Нарушение управления состоит в том, что каждую вле тающую в зону обстрела цель обстреливают все свободные к это му времени каналы. Обстрел цели каждым каналом длится слу чайное время, распределенное по показательному закону с параметром ц. За это время каждый канал поражает цель с ве роятностью р независимо от других каналов, принимающих
участие в обстреле. Определить характеристики работы системы,
если параметры системы ПВО следующие: п = 4; к = 4 —— ;
мин
! * = 1 — ; р=0,5.
мин
Р е ш е н и е
Врассматриваемом примере величина
\ л
а= — = 4 — целое число.
и-
Вероятности различных состояний системы будут равны:
р а— 1 |
1 |
с г 1 |
4. |
|
р а— 1 |
10_ |
W-1 |
|
JL+1 |
||||
Ро ' Г* |
70 Рг |
|
~70 ’ |
Р2~ ' |
|
|
■^а-Ьп |
Са |
70~ |
||||
W-f-л |
|
|
|
^а+п |
|
|
|
(-а—1 |
„ _ |
1 |
V |
35 |
|
Ръ=- |
20 |
|
||||
70 |
|
|
Рk |
7П |
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
ft = 0
168
Вероятность поражения налетающего самолета
P o6c= l _ |
^ 2 Ж = \ - ( Y )42 2*^ = 0,247 . |
|
|
к=0 |
й=0 |
Вероятность полной загрузки системы |
||
|
*п.3 = — -— = |
0,5. |
|
а 4- п |
|
Среднее время |
полной загрузки |
|
|
/п.з= — = 0,25 |
мин. |
|
П[х |
|
Среднее время неполной загрузки |
|
|
|
/н.з ~==—-—— 0,25 |
мин. |
Среднее число занятых каналов |
|
|
*= 2 ^ * = 3 , 2. k-0
Вероятность |
того, что канал занят: |
|
||||
|
|
|
^з.к=— = 0,8. |
|
||
|
|
|
|
П |
|
|
Среднее время занятости канала |
|
|
||||
|
|
|
/3.K= — = 1 |
мин. |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
Среднее время простоя канала |
|
|
||||
|
|
7п,к = — |
-~ Яэ-к-= 0,25 мин. |
|
||
|
|
|
I 1 |
Л З . К |
|
|
Среднее время пребывания заявки в системе |
|
|||||
1 V* |
^g+k-l |
n—k—l |
|
1 |
|
|
у / |
|
мин. |
||||
s |
|
|
|
|
0,429 |
|
|
с ;а+п |
т=0“ |
“ |
(т + 1Я |
|
|
k= l |
|
|
||||
Среднее |
число обстреливаемых |
самолетов l = tK=\J5. |
||||
4.6.2. |
Сравнить по пропускной способности систему ПВО, рас |
|||||
смотренную в предыдущем примере, с системой ПВО, работаю щей как СМО с отказами и вероятностью успешного обслужива ния р (см. § 4.2), если параметры системы /г, X, р, р одинаковы
(такие же как в задаче 4.6.1).
169