Р е ш е н и е
Для СМО с отказами и вероятностью успешного обслужива ния р относительная пропускная способность определяется по
формуле (4.2.1):
Р (1 = Р |
R ( n - 1, а) |
0,5 |
* (3»4) |
0,397. |
|
Я(п, а) |
|||||
|
R (4, 4) |
Таким образом, система массового обслуживания с отказа ми и вероятностью успешного обслуживания р при данных зна чениях параметров п, X, ц, р имеет большую пропускную способ
ность.
4.6.3. Рассматривается си стема массового обслуживания с отказами и недостоверным об служиванием (см. § 4.2) и си стема массового обслуживания с отказами, взаимопомощью и отсутствием информации о ре зультатах обслуживания, кото рая анализируется в этом па раграфе.
Показать, что при малом значении параметра X система мас
сового обслуживания, рассматриваемая в этом параграфе, имеет
большую пропускную |
способность, |
чем СМО, |
рассмотренная |
в § 4.2; при большом |
значении параметра X — наоборот. При |
||
этом предполагается, что остальные |
параметры |
(«, ц, р) одина |
|
ковы для обеих систем. |
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
При малом значении параметра Я(ЖСр) у обеих систем веро ятность ро того, что все каналы свободны, будет близка к едини
це. Тогда практически каждая заявка, поступающая на вход сис темы, рассмотренной в этом параграфе, будет обслуживаться всеми «каналами и вероятность ее успешного обслуживания при ближенно будет равна 1 — (1—р)п, в то время как каждая заяв
ка, поступающая на вход системы, рассмотренной в § 4.2, будет обслуживаться одним каналом и вероятность успешного ее об служивания будет равна р.
При большом значении параметра Л и в той и в другой сис теме практически будут заняты все каналы, т. е. рп^ 1. В этом
случае абсолютная пропускная способность системы, рассмот ренной в § 4.2, будет равна пцр, а вероятность обслуживания прр/Х. Для системы, рассмотренной в этом параграфе, вероят
ность обслуживания будет практически равна нулю:
П
2 (1 —(1 —p)n~k) jP *~(i —(i — р )п~п) р„= о-
=П
170
Это следует из того, что
/7—1
1 ~ Л . = 2 Л >~°- k=О
Т^аким образом, для обеих систем, рассмотренных в § 4.2 и существует такое значение параметра (при прочих одина1^Овых параметрах), когда обе системы имеют одинаковую пр°Г1ускную способность. При К Х * СМО, рассмотренная в § 4.6, бУА£т иметь большую пропускную способность, чем СМО, рас ш иренная в § 4,2, а при 7.Ж* — наоборот. На рис. 4.6.3а по-
казаны графики зависимости относительных пропускных способН0СТей систем, рассмотренных в § 4.2 (Робе) и § 4.6 (Робе).
Глава 5
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ
До сих пор рассматривались системы массового обслуживания с отказами; характерной особенностью таких систем было то, что любая поступившая заявка либо немедленно принималась к об служиванию, либо немедленно получала отказ и покидала сис тему.
Вэтой главе будут рассмотрены системы массового обслужи вания с ожиданием, в которых заявка, заставшая все каналы за нятыми, не получает немедленного отказа, а может стать в оче редь и ожидать освобождения канала, который может ее обслу жить.
Системы с ожиданием бывают «чистого» или «смешанного» типа. В чистой системе с ожиданием число мест в очереди и вре мя ожидания в ней ничем не ограничены: каждая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой системы понятие «от каз» не имеет смысла.
Всистеме с ожиданием смешанного типа возможны как от казы, так и ожидание заявки в очереди. Отказы (отсутствие обслу
живания) могут быть связаны или с ограниченным числом мест в очереди, или с ограниченным временем ожидания, которым располагает заявка.
В этой главе рассмотрим систему массового обслуживания смешанного типа с ограниченным числом мест в очереди т. Очевидно, при т = О получим как частный случай ранее рассмот ренную систему с отказами, а при т— ьсо чистую систему с ожи
данием.
При рассмотрении систем массового обслуживания с ожида нием необходимо учитывать систему правил, регламентирующих порядок образования и обслуживания очереди (так называемую «дисциплину очереди»). Необходимо указать, является ли оче редь общей, или образуется к каждому каналу отдельно; каков порядок вызовов заявок из очереди и т. д.
Будем называть порядок вызовов заявок из очереди естест венным, если заявки обслуживают по принципу «кто раньше стал
172
в очередь, тот и раньше обслуживается». Можно рассмотреть обслуживание с приоритетом, когда определенного вида заявки обслуживаются в первую очередь. Например, самолетам, иду щим на посадку, в первую очередь предоставляют взлетно-поса дочную полосу (ВПП). Если нет самолетов, идущих на посадку, разрешается использование ВПП взлетающими самолетами. Другим примером системы массового обслуживания с приорите том может служить система обслуживания населения городским транспортом: пассажиры с детьми и инвалиды обслуживаются вне очереди. Могут рассматриваться и такие случаи, когда заяв ка вызывается из очереди на обслуживание в случайном порядке.
Поведение заявок в очереди также входит в понятие «дис циплина очереди». Заявки в очереди могут «терпеливо» ждать начала обслуживания, а могут и уходить из системы, не дождав шись своей очереди. В этой главе будут рассматриваться только «терпеливые» заявки. Случай «нетерпеливых» заявок будет рас смотрен в шестой главе.
§5.1. КЛАССИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
СОЖИДАНИЕМ
П о с т а н о в к а з а д а ч и : На |
вход |
/z-канальной |
системы |
|
массового обслуживания поступает |
простейший |
поток |
заявок |
|
с плотностью А,. Плотность простейшего |
потока |
обслуживании |
||
каждого канала р. Если вновь поступившая заявка застает сво бодным хотя бы один канал, она принимается на обслуживание и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»). Если заявка застает все каналы занятыми, она становится в очередь и «тер пеливо» ждет своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришел, тот раньше и обслуживается*; максимальное число мест в очере ди т. Если заявка застает все т мест в очереди занятыми, то
она получает отказ и исключается из обслуживания. Каждая за явка может обслуживаться только одним каналом (взаимопомо щи между каналами нет). Величины /г, А,, р, т будем называть
параметрами системы массового обслуживания с ожиданием. Состояния рассматриваемой системы будем связывать с чис
лом заявок, находящихся в системе (обслуживаемых и ожидаю щих в очереди):
Xk — в системе имеется k заявок (& = 0, 1, 2, ..., /г), они об служиваются k каналами, очереди нет;
— в системе имеется п + r заявок (г=1, 2, ...,т), п из них обслуживаются в п каналах и г заявок находит
ся в очереди.
*Необходимо иметь в виду, что для пуассоновских систем дисциплина очереди влияет лишь на закон распределения времени пребывания заявки в очереди. При этом никакие вероятностные характеристики самой системы, ни даже среднее время пребывания заявки в очереди не зависят от дисциплины очереди.
173
Таким образом, система имеет п + т+ 1 состояний. Граф со
стояний рассматриваемой системы показан на рис. 5.1.1.
Этому графу состояний соответствует система дифференци альных уравнений для вероятностей состояний, которая справед лива и для переменных л и р. Обычно эту систему дифференци альных уравнений интегрируют при начальных условиях
а Г(0)=1; Pj(0)=o (j ф о), |
(5.1.1) |
т. е. когда в момент / = 0 система свободна от заявок.
Рис. 5.1.1
Заметим, что рассматриваемый нами граф состояний СМО с ожиданием (рис. 5.1.1) с точностью до обозначений сов падает с графом состояний системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами, изо
браженным на |
рис. 4.4.1. |
Поэтому при |
анализе стационарного |
||||
режима работы |
СМО |
с |
ожиданием, когда |
A,= const, |
p = const, |
||
т < оо, t— юо, можно |
воспользоваться результатами § 4.4. Сле |
||||||
довательно [см. (4.4.6)], имеем |
|
|
|
|
|||
рк = ^~ pQ(k = 0, 1, 2, . . . , и); |
рп+г=у.Трп(г = 0, 1, 2, . . . , т). |
||||||
к\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
т |
Рп+Г=^' получим |
|
Используя нормировочное |
условие ^ |
+ 2 |
|||||
|
|
|
|
к=0 |
т=1 |
|
|
Рк=- |
Р (к, а) |
1—у." -(* = <>, |
1, . . . , *), |
(5.1.2) |
|||
|
|
|
|||||
Я(П, а) + Р(п, а) у. ■1—х |
|
|
|
||||
р„+г = у/р11-. |
|
7ГР (П, а) |
|
(5.1.3) |
|||
|
|
1 — ът |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R (П, |
а) + Р (п, |
а) у.- 1—т. |
|
|
гле
(5.1.4)
174